Suponha que um comprador queira decidir se vai aceitar ou não um lote de itens. Para isso, ele retira uma amostra de tamanho n=20 do lote, e conta o número X de defeituosos. Qual a probabilidade de aceitar um lote quando: p=0,10 e a regra é aceitar o lote se X <= 2

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um lote de itens e queremos decidir se vamos aceitar esse lote ou não. Para isso, tiramos uma amostra de tamanho n = 20 e contamos quantos itens estão defeituosos, representados por X. A probabilidade de um item ser defeituoso é p = 0,10. A regra de aceitação é que vamos aceitar o lote se o número de defeituosos na amostra for menor ou igual a 2, ou seja, X <= 2.
Para resolver esse problema, vamos usar a Distribuição Binomial, que é adequada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades de resultado (sucesso ou falha). Aqui, consideraríamos um “sucesso” como encontrar um item defeituoso.

Passo 2

A distribuição binomial é definida por dois parâmetros: n, o número de tentativas, e p, a probabilidade de sucesso em cada tentativa. A fórmula da probabilidade de exatamente k sucessos é:
P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k
Onde binomnk é o coeficiente binomial, que calcula as combinações possíveis de k sucessos em n tentativas.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de aceitar o lote, ou seja, a probabilidade de que X <= 2. Isso significa que precisamos somar as probabilidades de ter 0, 1 ou 2 defeituosos na amostra:
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da distribuição binomial.
Para X = 0:
P(X = 0) = binom200 (0,10)^0 (0,90)^20 = 1 times 1 times (0,90)^20
Para X = 1:
P(X = 1) = binom201 (0,10)^1 (0,90)^19 = 20 times 0,10 times (0,90)^19
Para X = 2:
P(X = 2) = binom202 (0,10)^2 (0,90)^18 = 190 times 0,01 times (0,90)^18

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores numéricos:
  • (0,90)^20 approx 0,1216
  • 20 times 0,10 times (0,90)^19 approx 20 times 0,10 times 0,1351 approx 0,2702
  • 190 times 0,01 times (0,90)^18 approx 190 times 0,01 times 0,1502 approx 0,2854

Passo 6

Somando todas as probabilidades:
P(X <= 2) approx 0,1216 + 0,2702 + 0,2854 = 0,6772

Resposta

A probabilidade de aceitar o lote é aproximadamente 67,72%.

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