Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa de 10 %. Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas, independentemente. Qual a probabilidade de se obter: a) Uma peça defeituosa?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Temos uma linha de produção onde a chance de uma peça ser defeituosa é de 10%. Vamos inspecionar uma amostra de 10 peças, uma de cada vez, e queremos saber qual a probabilidade de exatamente uma dessas 10 peças ser defeituosa.
Aqui, vamos usar os conceitos de probabilidade binomial. Para isso, precisamos saber:
  • O número total de tentativas ( n): 10 peças.
  • A probabilidade de sucesso em cada tentativa ( p): 10% ou 0,1.
  • O número de sucessos desejados ( k): 1 peça defeituosa.

Passo 2

A probabilidade binomial nos ajuda a calcular a chance de ter exatamente k sucessos em n tentativas, onde cada tentativa é independente e tem a mesma probabilidade de sucesso.
A fórmula é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • binomnk é a combinação de n itens tomados k a k.
  • p^k é a probabilidade de ter k sucessos.
  • (1 - p)^n - k é a probabilidade de ter n - k fracassos.

Passo 3

Vamos calcular cada parte da fórmula.
Primeiro, a combinação binomnk:
binom101 = 10
Segundo, p^k:
0,1^1 = 0,1
Terceiro, (1 - p)^n - k:
(1 - 0,1)^10 - 1 = 0,9^9

Passo 4

Agora, multiplicamos esses valores:
P(X = 1) = 10 times 0,1 times 0,9^9
Vamos calcular 0,9^9:
0,9^9 approx 0,387420489
Então:
P(X = 1) = 10 times 0,1 times 0,387420489 approx 0,387420489

Resposta

A probabilidade de obter exatamente uma peça defeituosa em uma amostra de 10 peças é aproximadamente 0,387 ou 38,7%.

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