Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas simultaneamente dessa urna. Se ganharmos R por bola branca retirada e perdermos por bola branca retirada e perdermos por bola preta retirada. Encontre a função de massa de probabilidade do lucro;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma urna com 5 bolas brancas e 7 pretas. A gente vai tirar 3 bolas de uma vez. Cada bola branca que a gente tira vale R$200,00 de ganho, e cada preta, a gente perde R$100,00. Nosso objetivo é encontrar a função de massa de probabilidade do lucro, ou seja, descobrir as possíveis quantias de dinheiro que podemos ganhar ou perder e a probabilidade de cada uma acontecer. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade combinatória e funções de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as possíveis combinações de bolas que podem ser retiradas. Como temos 5 brancas e 7 pretas, e estamos tirando 3 bolas, as combinações possíveis de bolas brancas (B) e pretas § são:
  • 0 B e 3 P
  • 1 B e 2 P
  • 2 B e 1 P
  • 3 B e 0 P
Cada combinação vai resultar em um lucro diferente. Vamos calcular o lucro para cada caso:
  • 0 B e 3 P: Não ganha nada com bolas brancas e perde R$100,00 por cada preta. Então, lucro = 100,00 por cada preta Então, lucro = (0 times 200 - 3 times 100 = -300) reais - **1 B e 2 P**: Ganha R reais.
  • 1 B e 2 P: Ganha R$200,00 com uma branca e perde R$100,00 com cada preta. Lucro = 100,00 com cada preta Lucro = (1 times 200 - 2 times 100 = 0) reais - **2 B e 1 P**: Ganha R reais.
  • 2 B e 1 P: Ganha R$200,00 com duas brancas e perde R$100,00 com uma preta. Lucro = 100,00 com uma preta Lucro = (2 times 200 - 1 times 100 = 300) reais - **3 B e 0 P**: Ganha R reais.
  • 3 B e 0 P: Ganha R$200,00 com três brancas e não perde nada. Lucro = reais.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas combinações acontecer. Para isso, usamos a fórmula de combinação:
C(n, k) = n!k!(n-k)!
Onde C(12, 3) = 12!3! times 9! = 220 é o total de itens e C(5, 0) times C(7, 3) = 1 times 35 = 35 é o número de itens a serem escolhidos.
Primeiro, calculamos o número total de maneiras de tirar 3 bolas de um total de 12:
C(5, 1) times C(7, 2) = 5 times 21 = 105
Agora, calculamos para cada combinação:
  1. 0 B e 3 P:
C(5, 2) times C(7, 1) = 10 times 7 = 70
Probabilidade: C(5, 3) times C(7, 0) = 10 times 1 = 10
  1. 1 B e 2 P:
Probabilidade:
  1. 2 B e 1 P:
Probabilidade:
  1. 3 B e 0 P:
Probabilidade:

Passo 4

Vamos simplificar essas frações para facilitar:
  1. 0 B e 3 P:
35220 = 744 approx 0,1591
  1. 1 B e 2 P:
105220 = 2144 approx 0,4773
  1. 2 B e 1 P:
70220 = 722 approx 0,3182
  1. 3 B e 0 P:
10220 = 122 approx 0,0455

Passo 5

Agora, vamos associar cada lucro à sua respectiva probabilidade:
  • Lucro de R$ -300,00: Probabilidade de aproximadamente 15,91%
  • Lucro de R$ 0,00: Probabilidade de aproximadamente 47,73%
  • Lucro de R$ 300,00: Probabilidade de aproximadamente 31,82%
  • Lucro de R$ 600,00: Probabilidade de aproximadamente 4,55%

Resposta

A função de massa de probabilidade do lucro é:
-300,00 & com probabilidade 744 approx 15,91% 0,00 & com probabilidade 2144 approx 47,73% 300,00 & com probabilidade 722 approx 31,82% 600,00 & com probabilidade 122 approx 4,55%

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