Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas simultaneamente dessa urna. Se ganharmos
por bola branca retirada e perdermos
por bola preta retirada. Encontre a função de massa de probabilidade do lucro;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma urna com 5 bolas brancas e 7 pretas. A gente vai tirar 3 bolas de uma vez. Cada bola branca que a gente tira vale R$200,00 de ganho, e cada preta, a gente perde R$100,00. Nosso objetivo é encontrar a função de massa de probabilidade do lucro, ou seja, descobrir as possíveis quantias de dinheiro que podemos ganhar ou perder e a probabilidade de cada uma acontecer. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade combinatória e funções de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as possíveis combinações de bolas que podem ser retiradas. Como temos 5 brancas e 7 pretas, e estamos tirando 3 bolas, as combinações possíveis de bolas brancas (B) e pretas § são:
- 0 B e 3 P
- 1 B e 2 P
- 2 B e 1 P
- 3 B e 0 P
Cada combinação vai resultar em um lucro diferente. Vamos calcular o lucro para cada caso:
- 0 B e 3 P: Não ganha nada com bolas brancas e perde R$100,00 por cada preta. Então, lucro =
reais. - 1 B e 2 P: Ganha R$200,00 com uma branca e perde R$100,00 com cada preta. Lucro =
reais. - 2 B e 1 P: Ganha R$200,00 com duas brancas e perde R$100,00 com uma preta. Lucro =
reais. - 3 B e 0 P: Ganha R$200,00 com três brancas e não perde nada. Lucro =
reais.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas combinações acontecer. Para isso, usamos a fórmula de combinação:
Onde
é o total de itens e
é o número de itens a serem escolhidos.
Primeiro, calculamos o número total de maneiras de tirar 3 bolas de um total de 12:
Agora, calculamos para cada combinação:
- 0 B e 3 P:
Probabilidade:
- 1 B e 2 P:
Probabilidade:
- 2 B e 1 P:
Probabilidade:
- 3 B e 0 P:
Probabilidade:
Passo 4
Vamos simplificar essas frações para facilitar:
- 0 B e 3 P:
- 1 B e 2 P:
- 2 B e 1 P:
- 3 B e 0 P:
Passo 5
Agora, vamos associar cada lucro à sua respectiva probabilidade:
- Lucro de R$ -300,00: Probabilidade de aproximadamente 15,91%
- Lucro de R$ 0,00: Probabilidade de aproximadamente 47,73%
- Lucro de R$ 300,00: Probabilidade de aproximadamente 31,82%
- Lucro de R$ 600,00: Probabilidade de aproximadamente 4,55%
Resposta
A função de massa de probabilidade do lucro é: