Suponha que um sistema massa-mola tenha sido posto para oscilar em um recipiente contendo água de modo que o movimento oscilatório seja amortecido. Neste caso, utilizando a equação de movimento ( sum F=m cdot a ), construa a equação diferencial ordinária (EDO) que descreve esta situação, apresente sua solução e faça um esboço do gráfico da amplitude de oscilação em relação ao tempo. (Valor: 1 , 0 ponto)

Passo 1

Beleza, então a gente tem um sistema massa-mola que está oscilando dentro de um recipiente com água. Isso faz com que o movimento seja amortecido, ou seja, que a oscilação perca energia com o tempo por causa da resistência da água. A matéria que vamos usar aqui é a Dinâmica, especificamente a equação de movimento de Newton ( sum F = m cdot a). Precisamos montar a equação diferencial ordinária (EDO) que descreve essa situação, resolver essa equação e, por fim, esboçar um gráfico mostrando como a amplitude da oscilação muda com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças atuando no sistema. Temos:
  1. Força elástica da mola, que segue a Lei de Hooke: Fmola = -k cdot x, onde k é a constante da mola e x é o deslocamento.
  2. Força de amortecimento devido à água, que é proporcional à velocidade: Famortecimento = -c cdot v, onde c é o coeficiente de amortecimento e v a velocidade.
Como o movimento é ao longo de uma dimensão, podemos escrever a soma das forças:
sum F = Fmola + Famortecimento = -k cdot x - c cdot dxdt
Segundo a segunda lei de Newton:
sum F = m cdot d^2xdt^2

Passo 3

Igualando as duas expressões para a soma das forças:
m cdot d^2xdt^2 = -k cdot x - c cdot dxdt
Rearranjando os termos para obter a equação diferencial:
m cdot d^2xdt^2 + c cdot dxdt + k cdot x = 0
Essa é a equação diferencial ordinária (EDO) que descreve o movimento amortecido do sistema massa-mola.

Passo 4

Agora, vamos resolver a EDO:
m cdot d^2xdt^2 + c cdot dxdt + k cdot x = 0
Dividindo todos os termos por m para simplificar:
d^2xdt^2 + cm cdot dxdt + km cdot x = 0
Vamos simplificar as notações:
  • gamma = c2m (coeficiente de amortecimento)
  • omega0 = raizkm (frequência natural do sistema)
Substituindo:
d^2xdt^2 + 2gamma cdot dxdt + omega0^2 cdot x = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral para essa equação no caso de amortecimento é:
x(t) = A cdot e^-gamma t cdot cos(omega t) + B cdot e^-gamma t cdot sin(omega t)
Onde:
  • A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.
  • omega = raizomega0^2 - gamma^2 é a frequência oscilatória ajustada pelo amortecimento.

Passo 5

Para simplificar, podemos reescrever a solução combinando os termos em uma única função cosseno com fase:
x(t) = C cdot e^-gamma t cdot cos(omega t - phi)
Onde:
  • C é a amplitude inicial.
  • phi é a fase inicial.
Essa expressão mostra que a amplitude das oscilações decai exponencialmente com o tempo devido ao termo e^-gamma t, e a oscilação ocorre com uma frequência omega menor que a frequência natural omega0.

Passo 6

Agora, vamos esboçar o gráfico da amplitude de oscilação em relação ao tempo. A amplitude A(t) é dada por:
A(t) = C cdot e^-gamma t
Esse é um gráfico exponencial decrescente, começando com valor C no tempo t=0 e aproximando-se de zero conforme o tempo aumenta.

Resposta

A equação diferencial ordinária que descreve o movimento amortecido do sistema massa-mola é:
m cdot d^2xdt^2 + c cdot dxdt + k cdot x = 0
A solução geral dessa EDO é:
x(t) = C cdot e^-gamma t cdot cos(omega t - phi)
Onde gamma = c2m e omega = raizkm - gamma^2. O gráfico da amplitude em função do tempo apresenta uma curva exponencial decrescente, indicando que a amplitude diminui gradualmente devido ao amortecimento.

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