Suponha que um sistema massa-mola tenha sido posto para oscilar em um recipiente contendo água de modo que o movimento oscilatório seja amortecido. Neste caso, utilizando a equação de movimento (
), construa a equação diferencial ordinária (EDO) que descreve esta situação, apresente sua solução e faça um esboço do gráfico da amplitude de oscilação em relação ao tempo. (Valor:
ponto)
Passo 1
Beleza, então a gente tem um sistema massa-mola que está oscilando dentro de um recipiente com água. Isso faz com que o movimento seja amortecido, ou seja, que a oscilação perca energia com o tempo por causa da resistência da água. A matéria que vamos usar aqui é a Dinâmica, especificamente a equação de movimento de Newton (
). Precisamos montar a equação diferencial ordinária (EDO) que descreve essa situação, resolver essa equação e, por fim, esboçar um gráfico mostrando como a amplitude da oscilação muda com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças atuando no sistema. Temos:
- Força elástica da mola, que segue a Lei de Hooke:
, onde é a constante da mola e é o deslocamento. - Força de amortecimento devido à água, que é proporcional à velocidade:
, onde é o coeficiente de amortecimento e a velocidade.
Como o movimento é ao longo de uma dimensão, podemos escrever a soma das forças:
Segundo a segunda lei de Newton:
Passo 3
Igualando as duas expressões para a soma das forças:
Rearranjando os termos para obter a equação diferencial:
Essa é a equação diferencial ordinária (EDO) que descreve o movimento amortecido do sistema massa-mola.
Passo 4
Agora, vamos resolver a EDO:
Dividindo todos os termos por
para simplificar:
Vamos simplificar as notações:
-
(coeficiente de amortecimento) -
(frequência natural do sistema)
Substituindo:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral para essa equação no caso de amortecimento é:
Onde:
-
e são constantes determinadas pelas condições iniciais. -
é a frequência oscilatória ajustada pelo amortecimento.
Passo 5
Para simplificar, podemos reescrever a solução combinando os termos em uma única função cosseno com fase:
Onde:
-
é a amplitude inicial. -
é a fase inicial.
Essa expressão mostra que a amplitude das oscilações decai exponencialmente com o tempo devido ao termo
, e a oscilação ocorre com uma frequência
menor que a frequência natural
.
Passo 6
Agora, vamos esboçar o gráfico da amplitude de oscilação em relação ao tempo. A amplitude
é dada por:
Esse é um gráfico exponencial decrescente, começando com valor
no tempo
e aproximando-se de zero conforme o tempo aumenta.
Resposta
A equação diferencial ordinária que descreve o movimento amortecido do sistema massa-mola é:
A solução geral dessa EDO é:
Onde
e
. O gráfico da amplitude em função do tempo apresenta uma curva exponencial decrescente, indicando que a amplitude diminui gradualmente devido ao amortecimento.
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