Se a temperatura do ar em certo dia é , o índice de calor (também em ) é dado aproximadamente pela seguinte função, em que é a umidade relativa do ar em forma de porcentagem:
a) Qual é o índice de calor quando a umidade relativa do ar é ? E quando a umidade relativa do ar é ?
b) Que umidade relativa do ar resulta em um índice de calor de ?
c) O índice de calor é contínuo em ? E em ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre índice de calor! O enunciado nos diz que a temperatura do ar é de e nos dá uma função que depende da umidade relativa do ar, representada por em porcentagem. Precisamos usar essa função para responder às perguntas. Vamos precisar entender como essa função é definida em diferentes intervalos de e aplicar as fórmulas apropriadas para calcular o índice de calor.
Passo 2
Parte a) Vamos calcular o índice de calor quando a umidade relativa do ar é e .
Primeiro, para :
Observamos na função que para , .
Como está entre e , simplesmente substituímos:
Passo 3
Agora, para :
Vemos que , então usamos a terceira parte da função:
Substituindo :
Passo 4
Parte b) Queremos encontrar a umidade relativa do ar que resulta em um índice de calor de .
Primeiro, identificamos em qual intervalo isso ocorre. Sabemos que:
Para , (menor que 83).
Para , .
Para , .
Como , vamos verificar em qual parte se encaixa.
Vamos testar primeiro no segundo intervalo:
Então, a umidade relativa do ar que resulta em um índice de calor de é .
Passo 5
Parte c) Vamos verificar se a função é contínua em e .
Para uma função ser contínua em um ponto, o limite da função pela esquerda e pela direita desse ponto deve ser igual ao valor da função naquele ponto.
Primeiro, em :
Para , .
Para , .
Calculando o limite pela direita:
Já pelo lado esquerdo, .
Como os limites e o valor da função são iguais, é contínua em .
Agora, em :
Para , .
Para , .
Calculando o limite pela esquerda:
Calculando o limite pela direita:
O valor da função em :
Como todos os valores são iguais, é contínua em .
Resposta
a) Para de umidade, o índice de calor é . Para , é .
b) Uma umidade relativa de resulta em um índice de calor de .
c) O índice de calor é contínuo tanto em quanto em .