Se a temperatura do ar em certo dia é , o índice de calor (também em ) é dado aproximadamente pela seguinte função, em que é a umidade relativa do ar em forma de porcentagem:
a) Qual é o índice de calor quando a umidade relativa do ar é 30 % ? E quando a umidade relativa do ar é 90 % ?
b) Que umidade relativa do ar resulta em um índice de calor de 83^circ F ?
c) O índice de calor I(h) é contínuo em h=40 ? E em h=80 ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre índice de calor! O enunciado nos diz que a temperatura do ar é de e nos dá uma função que depende da umidade relativa do ar, representada por em porcentagem. Precisamos usar essa função para responder às perguntas. Vamos precisar entender como essa função é definida em diferentes intervalos de e aplicar as fórmulas apropriadas para calcular o índice de calor.
Passo 2
Parte a) Vamos calcular o índice de calor quando a umidade relativa do ar é I(30) = 80 e .
Primeiro, para :
Observamos na função que para , .
Como está entre e , simplesmente substituímos:
Passo 3
Agora, para I(h) = 0,005 h^2 - 0,65 h + 104 :
Vemos que I(90) = 0,005 times 90^2 - 0,65 times 90 + 104 , então usamos a terceira parte da função: I(90) = 0,005 times 8100 - 58,5 + 104
Substituindo I(90) = 40,5 - 58,5 + 104 = 86 :
Passo 4
Parte b) Queremos encontrar a umidade relativa do ar que resulta em um índice de calor de 80 + 0,1(h - 40) = 83 .
Primeiro, identificamos em qual intervalo isso ocorre. Sabemos que:
Para 0,1(h - 40) = 3 , h - 40 = 30 (menor que 83).
Para h = 70 , .
Para , .
Como , vamos verificar em qual parte se encaixa.
Vamos testar primeiro no segundo intervalo:
Então, a umidade relativa do ar que resulta em um índice de calor de é .
Passo 5
Parte c) Vamos verificar se a função limh to 40^+ I(h) = 80 + 0,1(40 - 40) = 80 é contínua em limh to 80^- I(h) = 80 + 0,1(80 - 40) = 80 + 4 = 84 e limh to 80^+ I(h) = 0,005 times 80^2 - 0,65 times 80 + 104 = 32 - 52 + 104 = 84 .
Para uma função ser contínua em um ponto, o limite da função pela esquerda e pela direita desse ponto deve ser igual ao valor da função naquele ponto.
Primeiro, em I(80) = 80 + 0,1(80 - 40) = 84 :
Para , .
Para , .
Calculando o limite pela direita:
Já pelo lado esquerdo, .
Como os limites e o valor da função são iguais, é contínua em .
Agora, em :
Para , .
Para , .
Calculando o limite pela esquerda:
Calculando o limite pela direita:
O valor da função em :
Como todos os valores são iguais, é contínua em .
Resposta
a) Para de umidade, o índice de calor é . Para , é .
b) Uma umidade relativa de resulta em um índice de calor de .
c) O índice de calor é contínuo tanto em quanto em .