O tempo, em minutos, para o efeito de um determinado analgésico é uma variável aleatória contínua T, com a seguinte função densidade:
f(t)=rr (t-4)40, & se 8 <= t<10 320, & se 10 <= t <= 15 0, cc
Mostre que f(t) é uma f.d.p…

Passo 1

Vamos lá! O enunciado quer saber se a função $ f(t) $ que descreve o tempo de efeito de um analgésico é uma função densidade de probabilidade (f.d.p.). Para mostrar isso, vamos precisar entender o que é uma f.d.p. e verificar duas condições principais:
  1. Não negatividade: $ f(t) $ deve ser sempre maior ou igual a zero.
  2. Integral igual a 1: A área total sob a curva de $ f(t) $ deve ser igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir a não negatividade. Olhando a função $ f(t) $:
f(t) á
Precisamos garantir que $ f(t) \geq 0 $ para todos os valores de $ t $.

Passo 3

Vamos analisar cada intervalo:
  1. Para $ 8 \leq t < 10 $:
    8 <= t < 10
    Como $ t $ varia de 8 a 10:
    • Quando $ t = 8 $: $ \frac{8-4}{40} = \frac{4}{40} = 0.1 $
    • Quando $ t = 10 $: $ \frac{10-4}{40} = \frac{6}{40} = 0.15 $
    Então, nesse intervalo, $ f(t) $ está entre 0.1 e 0.15, que são valores positivos.
  2. Para $ 10 \leq t \leq 15 $:
    (t-4)40
    Nesse intervalo, $ f(t) $ é constante e igual a 0.15, também positivo.
  3. Caso contrário ($ t < 8 $ ou $ t > 15 $):
    t
    Zero é válido, pois não é negativo.
Então, a primeira condição está satisfeita: $ f(t) \geq 0 $ para todo $ t $.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda condição: a integral de $ f(t) $ sobre todo o seu domínio deve ser igual a 1. Vamos calcular a integral em cada intervalo onde $ f(t) $ é diferente de zero.
f(t)
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 5

Primeiro, calculando a integral de $ 8 $ a $ 10 $:
8
Integrando $ (t - 4) $:
10
Calculando nos limites:
integral8^10 t-440 , dt = 140 integral8^10 (t - 4) , dt

Passo 6

Agora, calculando a integral de $ 10 $ a $ 15 $:
10

Passo 7

Somando as duas integrais:
0.25 + 0.75 = 1
Isso confirma que a integral de $ f(t) $ sobre todo o domínio é igual a 1.

Resposta

Sim, $ f(t) $ é uma função densidade de probabilidade, pois satisfaz as duas condições necessárias: é não negativa em todo o domínio e sua integral total é igual a 1.

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