O tempo, em minutos, para o efeito de um determinado analgésico é uma variável aleatória contínua , com a seguinte função densidade:
Mostre que f(t) é uma f.d.p…
Passo 1
Vamos lá! O enunciado quer saber se a função $ f(t) $ que descreve o tempo de efeito de um analgésico é uma função densidade de probabilidade (f.d.p.). Para mostrar isso, vamos precisar entender o que é uma f.d.p. e verificar duas condições principais:
Não negatividade: $ f(t) $ deve ser sempre maior ou igual a zero.
Integral igual a 1: A área total sob a curva de $ f(t) $ deve ser igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir a não negatividade. Olhando a função $ f(t) $:
f(t) á
Precisamos garantir que $ f(t) \geq 0 $ para todos os valores de $ t $.
Passo 3
Vamos analisar cada intervalo:
Para $ 8 \leq t < 10 $:
8 <= t < 10
Como $ t $ varia de 8 a 10:
Quando $ t = 8 $: $ \frac{8-4}{40} = \frac{4}{40} = 0.1 $
Quando $ t = 10 $: $ \frac{10-4}{40} = \frac{6}{40} = 0.15 $
Então, nesse intervalo, $ f(t) $ está entre 0.1 e 0.15, que são valores positivos.
Para $ 10 \leq t \leq 15 $:
(t-4)40
Nesse intervalo, $ f(t) $ é constante e igual a 0.15, também positivo.
Caso contrário ($ t < 8 $ ou $ t > 15 $):
t
Zero é válido, pois não é negativo.
Então, a primeira condição está satisfeita: $ f(t) \geq 0 $ para todo $ t $.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda condição: a integral de $ f(t) $ sobre todo o seu domínio deve ser igual a 1. Vamos calcular a integral em cada intervalo onde $ f(t) $ é diferente de zero.
f(t)
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 5
Primeiro, calculando a integral de $ 8 $ a $ 10 $:
Isso confirma que a integral de $ f(t) $ sobre todo o domínio é igual a 1.
Resposta
Sim, $ f(t) $ é uma função densidade de probabilidade, pois satisfaz as duas condições necessárias: é não negativa em todo o domínio e sua integral total é igual a 1.