A densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua
é dada por:
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de densidade de probabilidade para uma variável aleatória contínua $ X $, que é definida por:
O que queremos calcular aqui é a esperança de $ X $, que é basicamente o valor médio que $ X $ assume. Para isso, vamos usar alguns conceitos de probabilidade e cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a esperança $ \mathbb{E}(X) $ de uma variável aleatória contínua é dada pela integral do produto de $ x $ pela função de densidade $ f(x) $:
No nosso caso, como $ f(x) $ é diferente de zero apenas entre 0 e 1, a integral fica mais simples:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro da integral multiplicando $ x $ por $ 3x^{2} $:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral. A integral de $ x^{n} $ em relação a $ x $ é $ \frac{x^{n+1}}{n+1} $. Aplicando isso:
Passo 5
Vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a 1:
Resposta
A esperança $ \mathbb{E}(X) $ é igual a $ \frac{3}{4} $.