A densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X é dada por:
f(t)=rr3 x^2, & se 0 <= x <= 1 & 0, cc
Calcule E(X).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de densidade de probabilidade para uma variável aleatória contínua $ X $, que é definida por:
X á
O que queremos calcular aqui é a esperança de $ X $, que é basicamente o valor médio que $ X $ assume. Para isso, vamos usar alguns conceitos de probabilidade e cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a esperança $ \mathbb{E}(X) $ de uma variável aleatória contínua é dada pela integral do produto de $ x $ pela função de densidade $ f(x) $:
E(X)
No nosso caso, como $ f(x) $ é diferente de zero apenas entre 0 e 1, a integral fica mais simples:
x

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral multiplicando $ x $ por $ 3x^{2} $:
x
Então, a integral fica:
3x^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral. A integral de $ x^{n} $ em relação a $ x $ é $ \frac{x^{n+1}}{n+1} $. Aplicando isso:
x^n

Passo 5

Vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a 1:
E(X) = [ 34x^4 ]0^1 = 34(1)^4 - 34(0)^4 = 34 - 0 = 34

Resposta

A esperança $ \mathbb{E}(X) $ é igual a $ \frac{3}{4} $.

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