o tempo necessário para retirar uma certa quantidade de líquido do reservatório, t, é função de vários parâmetros e a viscosidade cinemática, nu, é importante nesse processo. Nós medimos, num laboratório, o tempo necessário para retirar 100 ml de vários óleos que apresentavam mesma massa específica mas viscosidades diferentes. O volume do béquer utilizado nos experimentos é 150 ml e a inclinação do béquer na operação de esvaziamento foi mantida constante. Os resultados nos experimentos são bem representados pela equação
t=1+9 times 10^2 nu+8 times 10^3 nu^2
em que nu está em m^2 / s. A equação é do tipo homogênea geral? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício sobre o tempo necessário para retirar um líquido de um reservatório, que depende de vários fatores, incluindo a viscosidade cinemática, denotada por nu. A equação que relaciona o tempo t com nu é dada por:
t = 1 + 9 times 10^2 nu + 8 times 10^3 nu^2
O que precisamos descobrir é se essa equação é do tipo homogênea geral. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são equações homogêneas e verificar se a equação dada se encaixa nessa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação ser homogênea. Em matemática, uma função é dita homogênea de grau n se, ao multiplicarmos todas as suas variáveis por um fator lambda, a função inteira é multiplicada por lambda^n. Ou seja, se f(lambda x, lambda y, dots) = lambda^n f(x, y, dots).
No contexto de equações, uma equação homogênea é aquela em que todos os termos têm o mesmo grau quando consideramos as variáveis envolvidas.

Passo 3

Vamos analisar a equação dada:
t = 1 + 900 nu + 8000 nu^2
Aqui, temos três termos:
  1. Termo constante: 1 (grau 0, pois não depende de nu)
  2. Termo linear: 900 nu (grau 1)
  3. Termo quadrático: 8000 nu^2 (grau 2)
Como vemos, os termos têm graus diferentes (0, 1 e 2). Para uma equação ser homogênea, todos os termos devem ter o mesmo grau.

Passo 4

Portanto, a presença de termos com graus diferentes indica que a equação não é homogênea. Em outras palavras, a equação mistura termos de diferentes ordens de nu, o que vai contra a definição de homogênea geral, onde todos os termos deveriam ter o mesmo grau.

Resposta

Não, a equação t = 1 + 900 nu + 8000 nu^2 não é do tipo homogênea geral, pois os termos possuem graus diferentes em relação à viscosidade cinemática nu.

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