Teste a hipótese que contra uma alternativa especificando que , usando e obtenha uma conclusão. Estabeleça quaisquer suposições necessárias acerca da distribuição em foco dos dados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai testar uma hipótese sobre o desvio padrão ( ) de uma população. Especificamente, queremos verificar se é igual a 0,10 ou se é diferente disso. Para isso, vamos usar um nível de significância de . Vamos precisar entender testes de hipóteses para desvio padrão e aplicar o teste qui-quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses que queremos testar:
  • Hipótese nula ( ):
    Isso significa que o desvio padrão da população é 0,10.
  • Hipótese alternativa ( ):
    Aqui, estamos dizendo que o desvio padrão é diferente de 0,10.

Passo 3

Agora, precisamos decidir qual teste estatístico usar. Como estamos testando o desvio padrão de uma população cuja distribuição é assumida como normal, o teste apropriado é o teste qui-quadrado para variância.
A fórmula do teste qui-quadrado para variância é:
Onde:
  • é o tamanho da amostra
  • é a variância da amostra
  • é a variância hipotética (neste caso, )

Passo 4

Antes de seguir, precisamos fazer algumas suposições:
  1. Distribuição Normal: Os dados seguem uma distribuição normal.
  2. Amostra Aleatória: A amostra foi selecionada de forma aleatória e independente.
Essas suposições são importantes para garantir a validade do teste qui-quadrado.

Passo 5

Vamos calcular o valor do teste qui-quadrado. Para isso, precisamos de:
  • O tamanho da amostra ( )
  • A variância da amostra ( )
Como esses valores não foram fornecidos no enunciado, suponhamos que:
  • (então )
Aplicando na fórmula:

Passo 6

Agora, vamos determinar os valores críticos do qui-quadrado para e graus de liberdade. Como é um teste bilateral ( ), dividimos o nível de significância em duas caudas:
  • na cauda esquerda
  • na cauda direita
Consultando uma tabela qui-quadrado ou usando uma calculadora estatística, encontramos:

Passo 7

Vamos comparar o valor do nosso teste ( ) com os valores críticos:
  • Se ou , rejeitamos .
  • Caso contrário, não rejeitamos .
No nosso caso, está entre e , então não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base no teste realizado, não há evidências suficientes para afirmar que o desvio padrão da população é diferente de 0,10 ao nível de significância de 1%.

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