Considere que uma população tem distribuição Poisson com parâmetro . Obtenha, através dos métodos de momentos e de máxima verosimilhança, com base na informação contida na amostra observada , as estimativas do parâmetro .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma estimativa para o parâmetro de uma distribuição de Poisson, usando dois métodos diferentes: Método dos Momentos e Máxima Verossimilhança. A gente tem uma amostra observada: . Pra começar, vamos entender o que é a distribuição de Poisson e o que cada método faz.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar a quantidade de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa constante e de forma independente. O parâmetro dessa distribuição representa tanto a média quanto a variância dos eventos.

Passo 3

Vamos começar com o Método dos Momentos. Esse método é bem direto: ele iguala o momento teórico (neste caso, a média) ao momento amostral (a média dos nossos dados) para encontrar a estimativa do parâmetro.

Passo 4

Primeiro, calculamos a média da nossa amostra. A amostra é .

Passo 5

Sabemos que, para a distribuição de Poisson, a média é igual a . Então, igualamos a média amostral à média teórica:

Passo 6

Agora, vamos para o método de Máxima Verossimilhança. Esse método busca encontrar o valor de que torna a observação dos dados mais “provável”. Para isso, vamos construir a função de verossimilhança e encontrar o valor de que a maximiza.

Passo 7

A função de verossimilhança para uma distribuição de Poisson, dado um conjunto de dados , é:

Passo 8

Para facilitar, vamos trabalhar com o logaritmo da função de verossimilhança (chamado de log-verossimilhança):

Passo 9

Para encontrar o valor de que maximiza , derivamos em relação a e igualamos a zero:

Passo 10

Resolvendo a equação:

Passo 11

Vendo que, no caso da distribuição de Poisson, a estimativa de máxima verossimilhança para também é a média da amostra:

Resposta

Tanto pelo Método dos Momentos quanto pela Máxima Verossimilhança, a estimativa para o parâmetro é aproximadamente .

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