A torre de controle de tráfego marítimo de Algés, em Portugal, tem o formato de um prisma oblíquo, com base retangular de área 247 m². A inclinação da torre é de aproximadamente 76,7°, com deslocamento horizontal de 9 m da base superior em relação à base inferior do prisma. Nas condições descritas, determine o volume do prisma (que pode ser calculado pelo produto da área da base pela altura) que representa essa torre, aproximado na casa da centena.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre um prisma oblíquo, que é como se fosse uma torre de controle com uma base retangular que tem uma área de 247 m². A torre está inclinada num ângulo de 76,7° e a parte de cima está deslocada horizontalmente 9 metros em relação à base. Nosso objetivo é descobrir o volume dessa torre, que dá pra calcular multiplicando a área da base pela altura. Vamos precisar mexer com trigonometria para achar essa altura.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um prisma oblíquo. Diferente de um prisma reto, onde as laterais são perpendiculares à base, no prisma oblíquo as laterais estão inclinadas. Isso significa que a altura que usamos para calcular o volume não é a altura inclinada, mas sim a altura perpendicular à base.
Passo 3
Agora, vamos chamar de $ h $ a altura perpendicular que precisamos encontrar. Sabemos que a torre está inclinada num ângulo de $ \theta = 76,7° $ e que o deslocamento horizontal é $ d = 9 $ metros. A relação entre esses valores pode ser descrita pela função tangente na trigonometria:
Passo 4
Queremos encontrar $ h $, então vamos isolar essa variável na fórmula:
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Vamos calcular o valor de $ \tan(76,7°) $. Usando uma calculadora:
Então:
Passo 6
Agora que temos a altura perpendicular, podemos calcular o volume $ V $ do prisma:
Resposta
O volume da torre é aproximadamente 554 m³.