O que é a Transformada de Fourier e qual é a relação entre a Transformada de Fourier e as séries de Fourier?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você perguntou o que é a Transformada de Fourier e como ela se relaciona com as Séries de Fourier. Para entender isso, vamos precisar dar uma olhada em como podemos quebrar funções em ondas senoidais e cossenoidais, que é o coração dessas ferramentas na análise de sinais e fenômenos periódicos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a Série de Fourier. Basicamente, qualquer função periódica (que se repete ao longo do tempo) pode ser escrita como uma soma de senos e cossenos. Isso é super útil porque senos e cossenos são funções bem conhecidas e fáceis de trabalhar. A fórmula geral da Série de Fourier para uma função $ f(t) $ com período $ T $ é:
f(t)
Aqui, $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $ são os coeficientes que determinam a contribuição de cada seno e cosseno na soma.

Passo 3

Agora, vamos para a Transformada de Fourier. Enquanto a Série de Fourier é ótima para funções periódicas, a Transformada de Fourier é usada para funções que não necessariamente se repetem (não são periódicas). Ela nos permite decompor qualquer função (mesmo não periódica) em uma integral contínua de senos e cossenos com todas as frequências possíveis. A fórmula da Transformada de Fourier de uma função $ f(t) $ é:
f(t)
Aqui, $ F(\omega) $ representa a “força” de cada frequência $ \omega $ presente na função original.

Passo 4

Então, qual é a relação entre as duas? Bem, a Série de Fourier pode ser vista como um caso especial da Transformada de Fourier. Se você tem uma função periódica e aplica a Transformada de Fourier nela, a transformada resulta em uma soma de delta de Dirac nas frequências múltiplas da frequência fundamental. Em outras palavras, a Série de Fourier surge quando aplicamos a Transformada de Fourier a funções periódicas, resultando em uma série discreta de componentes de frequência.

Resposta

Resumindo, a Transformada de Fourier é uma ferramenta poderosa que decompõe funções não periódicas em uma integral contínua de frequências, enquanto as Séries de Fourier decompõem funções periódicas em uma soma discreta de senos e cossenos. Basicamente, as Séries de Fourier são um caso específico da Transformada de Fourier aplicadas a funções que se repetem no tempo.

Exercícios relacionados