Um triângulo equilátero, de 6 dm de lado, gira em torno de um de seus lados. O volume do sólido gerado, em dm³, é:
a) 24π.
b) 36π.
c) 48π.
d) 54π.
a) 24π.
b) 36π.
c) 48π.
d) 54π.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um triângulo equilátero com lados de 6 dm que está girando em torno de um dos seus lados. Nosso objetivo é calcular o volume do sólido que esse movimento gera. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria relacionados à rotação de figuras planas e cálculo de volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual sólido é formado quando um triângulo equilátero gira em torno de um de seus lados. Imagine pegar o triângulo e girá-lo completamente em torno de um dos seus lados; o que você obtém é um cilindro com uma superfície lateral em forma de cone.
Passo 3
Para calcular o volume desse sólido, podemos pensar nele como a diferença entre o volume do cilindro formado pela rotação e o volume do cone que está sendo “cortado” desse cilindro.
Passo 4
Vamos começar calculando o volume do cilindro. A fórmula para o volume do cilindro é:
Onde:
- $ r $ é o raio da base
- $ h $ é a altura do cilindro
No nosso caso, a altura $ h $ do cilindro é igual ao lado do triângulo, que é 6 dm. O raio $ r $ é a distância do centro da base ao vértice oposto, que para um triângulo equilátero é:
Então, substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos calcular o volume do cone que está sendo subtraído. A fórmula para o volume do cone é:
Aqui, o raio $ r $ é o mesmo que antes, $ 2\sqrt{3} $ dm, e a altura $ h $ do cone é igual ao lado do triângulo, 6 dm.
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Agora, para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação do triângulo, subtraímos o volume do cone do volume do cilindro:
Resposta
O volume do sólido gerado é 48π dm³. A opção correta é a letra c) 48π.