Um triângulo equilátero, de 6 dm de lado, gira em torno de um de seus lados. O volume do sólido gerado, em dm³, é:
a) 24π.
b) 36π.
c) 48π.
d) 54π.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um triângulo equilátero com lados de 6 dm que está girando em torno de um dos seus lados. Nosso objetivo é calcular o volume do sólido que esse movimento gera. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria relacionados à rotação de figuras planas e cálculo de volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual sólido é formado quando um triângulo equilátero gira em torno de um de seus lados. Imagine pegar o triângulo e girá-lo completamente em torno de um dos seus lados; o que você obtém é um cilindro com uma superfície lateral em forma de cone.

Passo 3

Para calcular o volume desse sólido, podemos pensar nele como a diferença entre o volume do cilindro formado pela rotação e o volume do cone que está sendo “cortado” desse cilindro.

Passo 4

Vamos começar calculando o volume do cilindro. A fórmula para o volume do cilindro é:
Vcilindro = pi r^2 h
Onde:
  • $ r $ é o raio da base
  • $ h $ é a altura do cilindro
No nosso caso, a altura $ h $ do cilindro é igual ao lado do triângulo, que é 6 dm. O raio $ r $ é a distância do centro da base ao vértice oposto, que para um triângulo equilátero é:
r
Então, substituindo na fórmula:
h

Passo 5

Agora, vamos calcular o volume do cone que está sendo subtraído. A fórmula para o volume do cone é:
Vcone = 13 pi r^2 h
Aqui, o raio $ r $ é o mesmo que antes, $ 2\sqrt{3} $ dm, e a altura $ h $ do cone é igual ao lado do triângulo, 6 dm.
Substituindo na fórmula:
r

Passo 6

Agora, para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação do triângulo, subtraímos o volume do cone do volume do cilindro:
Vsólido = Vcilindro - Vcone = 72pi - 24pi = 48pi dm^3 ó

Resposta

O volume do sólido gerado é 48π dm³. A opção correta é a letra c) 48π.

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