Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas simultaneamente dessa urna. Se ganharmos R por bola branca retirada e perdermos por bola branca retirada e perdermos por bola preta retirada. Calcule o desvio padrão do lucro.

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Temos uma urna com 5 bolas brancas e 7 bolas pretas, totalizando 12 bolas. Vamos retirar simultaneamente 3 bolas dessa urna. Ganhamos R$ 200,00 por cada bola branca retirada e perdemos R$ 100,00 por cada bola preta retirada. Nosso objetivo é calcular o desvio padrão do lucro obtido com essa retirada.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição hipergeométrica, já que estamos retirando bolas sem reposição. Precisaremos calcular a média esperada do lucro e, em seguida, a variância, que nos levará ao desvio padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a variável aleatória X = 200W - 100P como o número de bolas brancas retiradas. Como estamos retirando 3 bolas no total, o número de bolas pretas retiradas será X = 200W - 100(3 - W) .
O lucro X = 200W - 300 + 100W pode ser expresso como:
X = 300W - 300
Substituindo :

Passo 3

Agora, vamos calcular as probabilidades de retirar 0, 1, 2 ou 3 bolas brancas.
A probabilidade de retirar exatamente P(W = k) = binom5k binom73-kbinom123 bolas brancas é dada pela distribuição hipergeométrica:
P(W = 0) = binom50 binom73binom123 = 1 times 35220 = 35220
Calculando para cada valor de P(W = 1) = binom51 binom72binom123 = 5 times 21220 = 105220 :
  • P(W = 2) = binom52 binom71binom123 = 10 times 7220 = 70220 : P(W = 3) = binom53 binom70binom123 = 10 times 1220 = 10220
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Passo 4

Agora, vamos determinar o lucro X = 300(0) - 300 = -300 correspondente a cada valor de X = 300(1) - 300 = 0 :
  • X = 300(2) - 300 = 300 : X = 300(3) - 300 = 600
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Passo 5

Com as probabilidades e os valores de E[X] = sum (X times P(W)) , podemos calcular a média esperada E[X] = (-300) times 35220 + 0 times 105220 + 300 times 70220 + 600 times 10220 :
E[X] = -10500220 + 0 + 21000220 + 6000220
E[X] = 16500220
E[X] = 75

Passo 6

Agora, vamos calcular E[X^2] = (-300)^2 times 35220 + 0^2 times 105220 + 300^2 times 70220 + 600^2 times 10220 :
E[X^2] = 90000 times 35220 + 0 + 90000 times 70220 + 360000 times 10220
E[X^2] = 3150000220 + 6300000220 + 3600000220
E[X^2] = 13050000220
E[X^2] approx 59272.73

Passo 7

Agora, calculamos a variância Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 :
Var(X) = 59272.73 - 75^2
Var(X) = 59272.73 - 5625
Var(X) = 53647.73

Passo 8

Finalmente, o desvio padrão sigmaX = raizVar(X) é a raiz quadrada da variância:
sigmaX = raiz53647.73
sigmaX approx 231.76

Resposta

O desvio padrão do lucro é aproximadamente R$ 231,76.

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