Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas simultaneamente dessa urna. Se ganharmos por bola branca retirada e perdermos por bola preta retirada. Calcule o desvio padrão do lucro.

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Temos uma urna com 5 bolas brancas e 7 bolas pretas, totalizando 12 bolas. Vamos retirar simultaneamente 3 bolas dessa urna. Ganhamos R$ 200,00 por cada bola branca retirada e perdemos R$ 100,00 por cada bola preta retirada. Nosso objetivo é calcular o desvio padrão do lucro obtido com essa retirada.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição hipergeométrica, já que estamos retirando bolas sem reposição. Precisaremos calcular a média esperada do lucro e, em seguida, a variância, que nos levará ao desvio padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a variável aleatória como o número de bolas brancas retiradas. Como estamos retirando 3 bolas no total, o número de bolas pretas retiradas será .
O lucro pode ser expresso como:
Substituindo :

Passo 3

Agora, vamos calcular as probabilidades de retirar 0, 1, 2 ou 3 bolas brancas.
A probabilidade de retirar exatamente bolas brancas é dada pela distribuição hipergeométrica:
Calculando para cada valor de :
  • :
  • :
  • :
  • :

Passo 4

Agora, vamos determinar o lucro correspondente a cada valor de :
  • :
  • :
  • :
  • :

Passo 5

Com as probabilidades e os valores de , podemos calcular a média esperada :

Passo 6

Agora, vamos calcular :

Passo 7

Agora, calculamos a variância :

Passo 8

Finalmente, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

Resposta

O desvio padrão do lucro é aproximadamente R$ 231,76.

Exercícios relacionados

Considerando o mercado do bem , o aumento nos preços de um bem que é substituto ao bem :
Esse aumento nos preços de um bem B tende:
A.
A deslocar da curva da oferta para a esquerda. A curva da demanda não se altera.
B.
A deslocar da curva da oferta para a direita. A curva da demanda não se altera.
C.
A deslocar da curva da demanda para a esquerda. A curva da oferta não se altera.
D.
A deslocar da curva da demanda para a direita. A curva da oferta não se altera.
Uma variável aleatória tem a seguinte função de distribuição:
Determine:
Ainda considerando o mercado do bem , o aumento nos preços de um bem que é substituto ao bem :
Esse aumento nos preços de um bem B tende:
A.
A não impactar os preços de A.
B.
A diminuir os preços dos bens A e B.
C.
A diminuir os preços do bem A.
D.
A aumentar os preços do bem A .
Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa de . Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas, independentemente. Qual a probabilidade de se obter: b) Nenhuma peça defeituosa?