Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas simultaneamente dessa urna. Se ganharmos
por bola branca retirada e perdermos
por bola preta retirada. Calcule o desvio padrão do lucro.
Passo 1
Vamos começar entendendo o problema. Temos uma urna com 5 bolas brancas e 7 bolas pretas, totalizando 12 bolas. Vamos retirar simultaneamente 3 bolas dessa urna. Ganhamos R$ 200,00 por cada bola branca retirada e perdemos R$ 100,00 por cada bola preta retirada. Nosso objetivo é calcular o desvio padrão do lucro obtido com essa retirada.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição hipergeométrica, já que estamos retirando bolas sem reposição. Precisaremos calcular a média esperada do lucro e, em seguida, a variância, que nos levará ao desvio padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a variável aleatória
como o número de bolas brancas retiradas. Como estamos retirando 3 bolas no total, o número de bolas pretas retiradas será
.
O lucro
pode ser expresso como:
Substituindo
:
Passo 3
Agora, vamos calcular as probabilidades de retirar 0, 1, 2 ou 3 bolas brancas.
A probabilidade de retirar exatamente
bolas brancas é dada pela distribuição hipergeométrica:
Calculando para cada valor de
:
-
: -
: -
: -
:
Passo 4
Agora, vamos determinar o lucro
correspondente a cada valor de
:
-
: -
: -
: -
:
Passo 5
Com as probabilidades e os valores de
, podemos calcular a média esperada
:
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Passo 7
Agora, calculamos a variância
:
Passo 8
Finalmente, o desvio padrão
é a raiz quadrada da variância:
Resposta
O desvio padrão do lucro é aproximadamente R$ 231,76.