Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa de 10 %. Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas, independentemente. Qual a probabilidade de se obter: b) Nenhuma peça defeituosa?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma linha de produção onde cada peça tem 10% de chance de ser defeituosa. Vamos pegar 10 peças e inspecionar cada uma delas, uma de cada vez, sem interferir nas outras (independentemente). O que queremos descobrir é qual a probabilidade de, nessas 10 peças, nenhuma delas ser defeituosa. Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial, que é ótima para calcular probabilidades em situações com dois resultados possíveis (como “defeituosa” ou “não defeituosa”) e eventos independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da distribuição binomial. A probabilidade de exatamente P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k sucessos em tentativas é dada por:
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que representa o número de maneiras de escolher sucessos em tentativas.
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • é a probabilidade de falha em uma única tentativa.
No nosso caso:
  • (número de peças inspecionadas)
  • (queremos nenhuma peça defeituosa)
  • (10% de chance de uma peça ser defeituosa)

Passo 3

Vamos calcular cada parte da fórmula:
Primeiro, o coeficiente binomial binom100 = 1 :
0,10^0 = 1
Isso porque há apenas uma maneira de escolher 0 sucessos em 10 tentativas.
Segundo, (1-0,10)^10-0 = 0,90^10 :
Qualquer número elevado a 0 é 1.
Terceiro, :
Agora, vamos calcular .

Passo 4

Calculando 0,90^10 approx 0,3487 :

Resposta

A probabilidade de não obter nenhuma peça defeituosa em uma amostra de 10 peças é de aproximadamente 34,87%.

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