Use os resultados obtidos e a equação da continuidade para calcular a taxa de variação
, da energia total contida dentro de uma região volumétrica arbitrária que contém a origem. Por que o resultado não depende da forma ou do tamanho da região? Qual o resultado para uma região que não contém a origem? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos a taxa de variação da energia total (
) dentro de uma região volumétrica qualquer que contenha a origem, usando a equação da continuidade. Depois, queremos entender por que o resultado não depende do formato ou tamanho dessa região e o que acontece se a região não contém a origem.
Aqui, estamos lidando com conservação de energia e a equação da continuidade, que é uma ferramenta poderosa na física para descrever como uma quantidade conservada (como massa, carga ou energia) se comporta em um sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a energia total em uma região. A energia total (
) dentro de um volume
pode ser expressa como:
Onde
é a densidade de energia.
A taxa de variação dessa energia com o tempo é:
Passo 3
Agora, usamos a equação da continuidade para energia, que nos diz como a energia se distribui e flui dentro do volume. A equação da continuidade para energia é:
Onde
é o fluxo de energia.
Passo 4
Vamos integrar a equação da continuidade sobre o volume
:
Pelo Teorema de Gauss, a segunda integral se transforma em uma integral de superfície:
Então, temos:
Passo 5
Isolando
, ficamos com:
Isso significa que a taxa de variação da energia dentro do volume é igual ao negativo do fluxo de energia através da superfície que delimita o volume.
Passo 6
Agora, por que o resultado não depende da forma ou do tamanho da região?
Porque a equação final envolve apenas o fluxo através da superfície
. Não importa como o volume é moldado ou quanto ele é grande, contanto que a origem esteja dentro dele, o fluxo de energia será calculado de acordo com a integral de superfície. A simetria e a localização da origem garantem que o resultado final seja independente da geometria específica do volume escolhido.
Passo 7
E se a região não contém a origem?
Se a origem não está dentro do volume, e assumindo que
é derivada de uma fonte localizada na origem, então fora da origem o fluxo
pode se anular ou ser tal que a integral de fluxo sobre a superfície
seja zero. Portanto, para uma região que não contém a origem, temos:
Isso indica que a energia total dentro desse volume permanece constante no tempo, já que não há fluxo de energia entrando ou saindo da região.
Resposta
A taxa de variação da energia total dentro de uma região que contém a origem é dada por
Esse resultado não depende da forma ou do tamanho da região porque depende apenas do fluxo de energia através da superfície, independentemente da geometria do volume. Para uma região que não contém a origem, a taxa de variação da energia é zero: