Utilize coordenadas cilíndricas.
Calcule , onde é o sólido do primeiro octante que está abixo do parabolóide

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla de sobre o sólido , que está no primeiro octante e abaixo do paraboloide . Vamos usar coordenadas cilíndricas para resolver isso. Então, vamos precisar lembrar como converter coordenadas cartesianas para cilíndricas e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a função e os limites para coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume fica:
Então, a função vira:

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Como estamos no primeiro octante:
Para , observamos que o paraboloide define o limite superior em , e no primeiro octante, vai de 0 até onde o paraboloide intercepta o plano :
Então, e .

Passo 4

Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Simplificando, temos:

Passo 5

Integrando em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 6

Expandindo a expressão dentro da integral:
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a :
Isso dá:
Substituindo os limites:

Passo 8

Agora, vamos integrar em relação a :
Podemos separar as integrais:

Passo 9

Resolvendo cada integral:
Usamos a identidade :
Avaliado de 0 a :
Fazendo , :
Avaliado de 0 a :

Passo 10

Substituindo de volta:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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