Utilize coordenadas cilíndricas.
Calcule integral triplaE(x^3+x y^2) d V, onde E é o sólido do primeiro octante que está abixo do parabolóide z=1-x^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla de sobre o sólido , que está no primeiro octante e abaixo do paraboloide . Vamos usar coordenadas cilíndricas para resolver isso. Então, vamos precisar lembrar como converter coordenadas cartesianas para cilíndricas e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a função e os limites para coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
E o elemento de volume fica:
dV = r , dr , dtheta , dz
Então, a função x^3 + x y^2 = (r cos theta)^3 + (r cos theta)(r sin theta)^2 = r^3 cos^3 theta + r^3 cos theta sin^2 theta vira:

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Como estamos no primeiro octante:
theta in [0, pi2]
Para 1 - r^2 = 0 implies r = 1 , observamos que o paraboloide define o limite superior em , e no primeiro octante, vai de 0 até onde o paraboloide intercepta o plano :
Então, e .

Passo 4

Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaE (x^3 + x y^2) , dV = integral0^pi2 integral0^1 integral0^1 - r^2 ( r^3 cos^3 theta + r^3 cos theta sin^2 theta ) r , dz , dr , dtheta
Simplificando, temos:
integral0^pi2 integral0^1 integral0^1 - r^2 ( r^4 cos^3 theta + r^4 cos theta sin^2 theta ) dz , dr , dtheta

Passo 5

Integrando em relação a integral0^1 - r^2 dz = 1 - r^2 :
integral0^pi2 integral0^1 ( r^4 cos^3 theta + r^4 cos theta sin^2 theta ) (1 - r^2) , dr , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 6

Expandindo a expressão dentro da integral:
r^4 (1 - r^2) cos^3 theta + r^4 (1 - r^2) cos theta sin^2 theta = r^4 cos^3 theta - r^6 cos^3 theta + r^4 cos theta sin^2 theta - r^6 cos theta sin^2 theta
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a integral0^1 ( r^4 cos^3 theta - r^6 cos^3 theta + r^4 cos theta sin^2 theta - r^6 cos theta sin^2 theta ) dr :
cos^3 theta [ r^55 - r^77 ]0^1 + cos theta sin^2 theta [ r^55 - r^77 ]0^1
Isso dá:
cos^3 theta ( 15 - 17 ) + cos theta sin^2 theta ( 15 - 17 ) = ( 235 ) ( cos^3 theta + cos theta sin^2 theta )
Substituindo os limites:

Passo 8

Agora, vamos integrar em relação a 235 integral0^pi2 ( cos^3 theta + cos theta sin^2 theta ) dtheta :
235 ( integral0^pi2 cos^3 theta , dtheta + integral0^pi2 cos theta sin^2 theta , dtheta )
Podemos separar as integrais:

Passo 9

Resolvendo cada integral:
  1. integral cos theta , dtheta - integral cos theta sin^2 theta , dtheta = sin theta - sin^3 theta3
Usamos a identidade ( 1 - 13 ) - (0 - 0) = 23 :
integral u^2 , du = u^33 = sin^3 theta3
Avaliado de 0 a 13 - 0 = 13 :
Fazendo , :
Avaliado de 0 a :

Passo 10

Substituindo de volta:
235 ( 23 + 13 ) = 235 cdot 1 = 235

Resposta

O valor da integral tripla é .

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