Utilize coordenadas cilíndricas.
Calcule
, onde
é o sólido do primeiro octante que está abixo do parabolóide
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla de
sobre o sólido
, que está no primeiro octante e abaixo do paraboloide
. Vamos usar coordenadas cilíndricas para resolver isso. Então, vamos precisar lembrar como converter coordenadas cartesianas para cilíndricas e ajustar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a função e os limites para coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume fica:
Então, a função
vira:
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Como estamos no primeiro octante:
Para
, observamos que o paraboloide
define o limite superior em
, e no primeiro octante,
vai de 0 até onde o paraboloide intercepta o plano
:
Então,
e
.
Passo 4
Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Simplificando, temos:
Passo 5
Integrando em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Expandindo a expressão dentro da integral:
Agora, vamos integrar termo a termo.
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a
:
Isso dá:
Substituindo os limites:
Passo 8
Agora, vamos integrar em relação a
:
Podemos separar as integrais:
Passo 9
Resolvendo cada integral:
Usamos a identidade
:
Avaliado de 0 a
:
Fazendo
,
:
Avaliado de 0 a
:
Passo 10
Substituindo de volta:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
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.
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