Verifique se os vetores são coplanares u=(2,3,4), v=(1,4,3) e w=(2,5,4).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta se os vetores u = (2, 3, 4), v = (1, 4, 3) e w = (2, 5, 4) são coplanares. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Vetorial, especificamente o produto misto de vetores. O que precisamos entender é que vetores são coplanares se o produto misto entre eles for igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto misto de três vetores u, v e w é calculado usando o determinante da matriz formada por esses vetores. A fórmula é:
Produto Misto = u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3
Se esse determinante for igual a zero, os vetores são coplanares.

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz com os componentes dos vetores u, v e w:
2 & 3 & 4 1 & 4 & 3 2 & 5 & 4

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz. Lembrando que o determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus:
Determinante = 2 cdot 4 cdot 4 + 3 cdot 3 cdot 2 + 4 cdot 1 cdot 5 - 4 cdot 4 cdot 2 - 3 cdot 3 cdot 2 - 2 cdot 1 cdot 5
Calculando cada termo:
= 32 + 18 + 20 - 32 - 18 - 10

Passo 5

Vamos somar e subtrair os valores:
= (32 + 18 + 20) - (32 + 18 + 10) = 70 - 60 = 10

Resposta

O produto misto é igual a 10, que não é zero. Portanto, os vetores u, v e w não são coplanares.

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