O vetor aceleração total de um corpo que se move no eixo Oy é dada por a=8 j (SI). Se no instante inicial to =0 s a posição inicial é r0(t)=i (SI), e a velocidade inicial é vo(t)=2 i (SI), d mine:
b) O vetor posição r(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um corpo se mexendo no eixo Oy com uma aceleração constante, além de posição e velocidade iniciais conhecidas. O conteúdo aqui é de Cinemática, especificamente integração de aceleração para encontrar a posição. Vamos precisar usar cálculo básico e entender como integrar vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar o que a gente já sabe. A aceleração do corpo é constante e está na direção de j:
a = 8, j , m/s^2
Isso significa que a aceleração só tem componente na direção y.

Passo 3

Agora, para achar a velocidade em função do tempo, precisamos integrar a aceleração. A fórmula básica é:
v(t) = v0 + integral a , dt
Como a aceleração é constante, a integral fica simples:
v(t) = v0 + a cdot t

Passo 4

Vamos substituir os valores que a gente conhece. A velocidade inicial é:
v0 = 2, i , m/s
Então:
v(t) = 2, i + 8, j cdot t
Isso nos dá a velocidade em qualquer instante de tempo $ t $.

Passo 5

Agora, para encontrar a posição em função do tempo, a gente integra a velocidade. A fórmula é:
r(t) = r0 + integral v(t) , dt
Substituindo a expressão da velocidade que encontramos:
r(t) = r0 + integral (2, i + 8, j cdot t) dt

Passo 6

Vamos fazer a integral parte por parte:
integral 2, i , dt = 2, i cdot t + C1
integral 8, j cdot t , dt = 4, j cdot t^2 + C2
Como estamos integrando a velocidade para a posição, as constantes C1 e C2 correspondem à posição inicial r0. Sabemos que:
r0 = i
Então, juntando tudo:
r(t) = i + 2, i cdot t + 4, j cdot t^2

Resposta

O vetor posição é dado por:
r(t) = (1 + 2, t), i + 4, t^2, j

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