O vetor aceleração total de um corpo que se move no eixo Oy é dada por
(SI). Se no instante inicial to
s a posição inicial é
(SI), e a velocidade inicial é
(SI), d mine:
b) O vetor posição
.
b) O vetor posição
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um corpo se mexendo no eixo Oy com uma aceleração constante, além de posição e velocidade iniciais conhecidas. O conteúdo aqui é de Cinemática, especificamente integração de aceleração para encontrar a posição. Vamos precisar usar cálculo básico e entender como integrar vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar o que a gente já sabe. A aceleração do corpo é constante e está na direção de
:
Isso significa que a aceleração só tem componente na direção y.
Passo 3
Agora, para achar a velocidade em função do tempo, precisamos integrar a aceleração. A fórmula básica é:
Como a aceleração é constante, a integral fica simples:
Passo 4
Vamos substituir os valores que a gente conhece. A velocidade inicial é:
Então:
Isso nos dá a velocidade em qualquer instante de tempo $ t $.
Passo 5
Agora, para encontrar a posição em função do tempo, a gente integra a velocidade. A fórmula é:
Substituindo a expressão da velocidade que encontramos:
Passo 6
Vamos fazer a integral parte por parte:
Como estamos integrando a velocidade para a posição, as constantes
e
correspondem à posição inicial
. Sabemos que:
Então, juntando tudo:
Resposta
O vetor posição é dado por: