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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 85

As E q s .   13.20 formam um conjunto útil para analisar escoamento através de um choque normal. Deduza outra equação útil, a relação de Rankine-Hugoniot, e use-a prara achar a razão de massa específica para o ar quando P 2 / P 1 → ∞ .

P 2 P 1 = k + 1 ρ 2 ρ 1 - k - 1 k + 1 - k - 1 ρ 2 ρ 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Vamos começar com a equação do momento:

P 1 + ρ 1 v 2 = P 2 + ρ 2 v 2

Pela conservação da massa e a equação de Bernoulli, temos:

h 1 + 1 2 v 1 2 = h 2 + 1 2 v 2 2

Observe que agora recorremos a relação termodinâmica entre a entalpia e a temperatura. A equação da energia fica:

∆ h = c P ∆ T

Multiplicando por 2 em ambos os lados, temos que:

2 h 2 - h 1 = 2 c P T 2 - T 1 = v 1 2 - v 2 2 = v 1 - v 2 v 1 + v 2

Fazemos isso pois procuramos uma outra equação para substituir.

Passo 2

Da equação do momento, temos que:

P 2 - P 1 = ρ 1 v 1 v 1 - v 2

Portanto:

v 1 - v 2 = P 2 - P 1 ρ v 1

Substituindo na equação, temos que:

2 c P T 2 - T 1 = P 2 - P 1 ρ v 1 v 1 + v 2

2 c P T 2 - T 1 = ( P 2 - P 1 ) 1 ρ 1 + 1 ρ 2

Passo 3

Agora devemos utilizar a equação do gás ideal, onde:

T = P 2 ρ R

Temos então que:

2 c R P 2 ρ - P 1 ρ = 2 k k - 1 P 2 P 1 + ρ 2 ρ 1

Reunindo os termos em evidência, temos que:

ρ 2 ρ 1 = k + 1 k - 1

Para uma razão de pressão infinita, teremos:

k + 1 - k - 1 ρ 2 ρ 1 = 0

ρ 2 ρ 1 = 6

Resposta

ρ 2 ρ 1 = 6

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