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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 117

Começando com balanço de energia em elemento de volume, obtenha a equação explícita de diferenças finitas transiente tridimensional para nó geral interno em coordenadas retangulares para T   ( x , y , z , t ) para o caso de condutividade térmica constante sem geração de calor.

Passo 1

Vamos imaginar uma região retangular que atenda as características que o enunciado fornece, ou seja, condutividade térmica k constante e sem geração de calor, com condução significativa nas direções x e y . Agora, vamos dividir a região tridimensional em uma malha de pontos nodais, com espaçamentos arbitrários nas três direções ( ∆ x ,   ∆ y ,   ∆ z ) , e considerar um nó interior geral ( m ,   n ,   r ) que possua coordenadas x =   m ∆ x ,   y = n ∆ y ,   z = r ∆ z .

O elemento de volume é centralizado em ( m ,   n ,   r ) e envolve a condução de calor em seis lados (direita, esquerda, frente, superior, inferior e traseira), dessa forma, nós podemos expressa-lo num passo de tempo i , e a formulação transiente explícita de diferenças finitas fica da seguinte forma:

k ∆ y × ∆ z T m - 1 , n , r i -   T m ,   n ,   r i ∆ x + k ∆ x × ∆ z T m , n + 1 , r i -   T m ,   n ,   r i ∆ y + k ∆ y × ∆ z T m + 1 , n , r i -   T m ,   n ,   r i ∆ x + k ∆ x × ∆ z T m , n - 1 , r i -   T m ,   n ,   r i ∆ y + k ∆ x × ∆ y T m , n , r - 1 i -   T m ,   n ,   r i ∆ z + k ∆ x × ∆ y T m , n , r + 1 i -   T m ,   n ,   r i ∆ z =   ρ ∆ x × ∆ y × 1 c T m , n i + 1 -   T m , n i ∆ t

Passo 2

Agora, se imaginarmos uma malha cúbica de lados valendo L , e dividir cada termo pela condutividade térmica, uma vez que ela é constante, obtém-se:

T m - 1 , n , r i + T m + 1 , n , r i +   T m , n - 1 , r i +   T m , n + 1 , r i +   T m , n , r - 1 i +   T m , n , r + 1 i - 6 T m , n , r i =   T m , n , r i + 1 -   T m , n , r i k ∆ t ρ c L 2

Onde α = k / ρ c , e as temperaturas podem ser melhor representadas identificando a região ao qual elas pertencem, então, fica da seguinte forma:

T e s q u e r d a i + T a c i m a i +   T d i r e i t a i +   T a b a i x o i +   T f r e n t e i +   T a t r á s i - 6 T n ó i =   T n ó i + 1 -   T n ó i k ∆ t ρ c L 2  

Assim, para o caso em que T n ó i + 1 =   T n ó i , tem-se a formulação de diferenças finitas constante.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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