Se a densidade da água do mar for aproximada pela equação de estado ρ = ρ0 exp [(p – patm)/β], em que β é a compressibilidade, determine a pressão e a densidade em um ponto 32.000 ft abaixo da superfície do mar. Considere β = 30.000 psi.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Escrevendo a equação da densidade da água do mar

ρ = ρ 0 ⋅ exp P - P a t m β

Aqui, a densidade da água no nível do mar é ρ 0 , a densidade da água do mar no ponto de 32.000   ft abaixo do nível do mar é ρ , a pressão da água do mar no ponto 32.000   ft abaixo do nível do mar é P , a pressão atmosférica no nível do mar é P a t m , a profundidade da água abaixo do nível do mar é h , a compressibilidade é β .

Escrevendo o gradiente de pressão no ponto h abaixo da superfície da água em um fluido estático

d P d y = ρ g

Substituindo a expressão para ρ na equação do começo do Passo

d P d y = ρ 0 ⋅ exp P - P a t m β

→ d P exp P - P a t m β = ρ 0 g d y

Integrando P de 0 à P - P a t m e integrando y de 0 à y

∫ 0 P - P a t m d P exp P - P a t m β = ρ 0 g ∫ 0 y d y

→ ∫ 0 P - P a t m exp - P - P a t m β d P = ρ 0 g ∫ 0 y d y

→ exp - P - P a t m β - 1 = - ρ 0 g y β

→ P - P a t m = - β ln ⁡ 1 - ρ 0 g y β

Aqui, ρ 0 g é o peso específico da água

Substituindo os valores:

P - P a t m = - 30000   psi ln ⁡ 1 - 64 l b / f t 3 ⋅ 32000   ft 30000 ⋅ 144 l b / f t 2

∴ P - P a t m = 19277,847   psi

Passo 2

Achando a densidade usando a equação:

ρ = ρ 0 exp P P a t m β

Substituindo valores:

ρ = ρ 0 exp 19277,847   psi 30000   psi

∴ ρ = 1,9014 ρ 0

Resposta

P - P a t m = 19277,847   psi

ρ = 1,9014 ρ 0