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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fundamentos de Transferência de Massa - Marco Aurélio Cremasco- Ed: 2º - Capítulo 1.Cálculos - Ex. 1

1. Escreva as equações da continuidade mássica de A em coordenadas cilíndricas e esféricas para o soluto A em termos da derivada substantiva, considerando ρ e D A B   constantes.

Passo 1

Falaa... beleza??

Nessa questão vamos pegar lá na tabela 3.3 a equação da continuidade mássica da espécie A para ρ e D A B constantes:

- coordenadas cilíndricas:

∂ ρ A ∂ t + u r ∂ ρ A ∂ r + u θ r ∂ ρ A ∂ θ + u z ∂ ρ A ∂ z = D A B 1 r ∂ ∂ r r ∂ ρ A ∂ r + 1 r ∂ 2 ρ A ∂ θ 2 + ∂ 2 ρ A ∂ z 2 + r A ' ' '

- coordenadas esféricas:

∂ ρ A ∂ t + u r ∂ ρ A ∂ r + u θ r ∂ ρ A ∂ θ + u ϕ r sen ⁡ ϕ ∂ ρ A ∂ ϕ = D A B 1 r 2 ∂ ∂ r r 2 ∂ ρ A ∂ r + 1 r 2 sen ⁡ θ ∂ ∂ θ sen ⁡ θ ∂ ρ A ∂ θ + 1 r 2 sen 2 ⁡ θ ∂ 2 ρ A ∂ ϕ 2 + r A ' ' '

E escrevê-las em termos da derivada substantiva:

D D t = ∂ ∂ t + u - ⋅ ∇ -

Vamos precisar lembrar do divergente:

- em coordenadas cilíndricas:

u - ⋅ ∇ - = u r ∂ ρ A ∂ r + u θ r ∂ ρ A ∂ θ + u z ∂ ρ A ∂ z

- em coordenadas cilíndricas:

u - ⋅ ∇ - = u r ∂ ρ A ∂ r + u θ r ∂ ρ A ∂ θ + u ϕ r sen ⁡ ϕ ∂ ρ A ∂ ϕ

Passo 2

Então bora lá... repara que temos exatamente o divergente na equação da continuidade, certo? Daí podemos escrever como:

- para coordenadas cilíndricas:

∂ ρ A ∂ t + u - ⋅ ∇ - ρ A = D A B 1 r ∂ ∂ r r ∂ ρ A ∂ r + 1 r ∂ 2 ρ A ∂ θ 2 + ∂ 2 ρ A ∂ z 2 + r A ' ' '

E passando para termos de derivada substantiva:

D ρ A D t = D A B 1 r ∂ ∂ r r ∂ ρ A ∂ r + 1 r ∂ 2 ρ A ∂ θ 2 + ∂ 2 ρ A ∂ z 2 + r A ' ' '

- para coordenadas esféricas:

∂ ρ A ∂ t + u - ⋅ ∇ - ρ A = D A B 1 r 2 ∂ ∂ r r 2 ∂ ρ A ∂ r + 1 r 2 sen ⁡ θ ∂ ∂ θ sen ⁡ θ ∂ ρ A ∂ θ + 1 r 2 sen 2 ⁡ θ ∂ 2 ρ A ∂ ϕ 2 + r A ' ' '

E passando para termos de derivada substantiva:

D ρ A D t = D A B 1 r 2 ∂ ∂ r r 2 ∂ ρ A ∂ r + 1 r 2 sen ⁡ θ ∂ ∂ θ sen ⁡ θ ∂ ρ A ∂ θ + 1 r 2 sen 2 ⁡ θ ∂ 2 ρ A ∂ ϕ 2 + r A ' ' '

Ufaaa... acabamos. Vamos pra próxima questão?

Resposta

D ρ A D t = D A B 1 r ∂ ∂ r r ∂ ρ A ∂ r + 1 r ∂ 2 ρ A ∂ θ 2 + ∂ 2 ρ A ∂ z 2 + r A ' ' '

D ρ A D t = D A B 1 r 2 ∂ ∂ r r 2 ∂ ρ A ∂ r + 1 r 2 sen ⁡ θ ∂ ∂ θ sen ⁡ θ ∂ ρ A ∂ θ + 1 r 2 sen 2 ⁡ θ ∂ 2 ρ A ∂ ϕ 2 + r A ' ' '