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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 113

Formulate a numerical model for Eq. (8.99), which has no

instability, by evaluating the second derivative at the next

time step, j 1 1. Solve for the center velocity at the next

time step and comment on the result. This is called an implicit model and requires iteration.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Escreva uma malha de diferenças finitas igualmente espaçada para uma equação de fluxo viscoso dimensional.

u n j + 1 - u n j Δ t = v u n j + 1 - 2 u n j + u n j + 1 Δ y 2

Aqui, Δ y é a mudança no comprimento na direção y , Δ t é a mudança na espessura, e é a v viscosidade cinemática.

Reorganize a relação acima para calcular a velocidade central na próxima etapa de tempo. Substitua Δ y para Δ z .

u i + 1 , j - 2 u i , j + u i - 1 , j ( Δ y ) 2 + u i , j + 1 - 2 u i , j + u i , j - 1 ( Δ y ) 2 = 1 μ d p d x u n j + 1 - u n j Δ t = v u n j + 1 - 2 u n j + u n j + 1 Δ y 2 u n j + 1 - u n j = Δ t × v Δ y 2 u n j + 1 - 2 u n j + u n j + 1 u n j + 1 = Δ t × v Δ y 2 u n j + 1 - 2 u n j + u n j + 1 + u n j   = Δ t × v Δ y 2 u n - 1 j + 1 + u n + 1 j + 1 + u n j 1 + 2 Δ t × v Δ y 2

Passo 2

Aqui, o cálculo é estável para qualquer valor de Δ t × v Δ y 2 . A qualquer passo de tempo, um itera os valores restantes serão obtidos automaticamente. Mais precisão é obtida através da redução Δ y e Δ t .

Resposta

Resposta nos passos.