Grandezas e Unidades

Falaaa aiiii galeraaaa, animados para começar esta seção?

Espero que siiim ein !!

Bom galerinha, vamos começar com uma bem simples, ok?

Queremos converter milhas para ft e depois horas para segundos !!

Podemos usar uma regrinha de três, não é? Claro que sim !!

Mas muitas vezes as mudanças envolverão várias unidades, como acontece aqui (comprimento e tempo) !!

Vamos achar um fator de conversão, ou seja, quantas milhas equivalem um ft ou quantos segundos tem uma hora!!

Vamos dar uma olhada no que temos tabelado?

No enunciado a milha está no numerador, como queremos cancelar esta unidade faremos uma razão com o que achamos acima, mas agora a milha vai para o numerador:

Já a hora está no denominador, então no fator de conversão teremos que colocar ele como numerador da razão:

E agora multiplicamos tudo isso com o que foi dado:

Reparem o que acontece com as unidades:

Sobrou exatamente a unidade que queríamos no numerador e no denominador, certo?

Agora é só multiplicar tudo:

Tranquilinha ?!

Bora para mais uma bem legal?

Queremos converter J/min para Hp !! Mas o que é Hp??

O Hp é uma unidade de potência chamada Horse-Power (ou Cavalo-Vapor em portugês), mas o nome não importa para nós, o que importa é como ela se relaciona com o Watts!

Mas agora apareceu uma nova unidade !

Mas o é bem conhecido, não é? Ele é o famoso

Então precisamos transformar o segundo em minuto para ficar da forma que queremos no enunciado!!

Vamos rever a transformação?

No enunciado o minuto no denominador, então no fator de conversão teremos que colocar ele como numerador da razão:

Vamos substituir?

Olhem só como as unidades se cancelam:

Bora multiplicar?

Mas vocês já sabem que equivale a

Mas ainda não finalizamos !!

Esse danado desse precisa ser transformado em ! Como Watt está no numerador e queremos cancelar esta unidade faremos uma razão com o que achamos acima, mas agora o Watt vai para o denominador:

E agora multiplicamos ao valor que já achamos:

Simples, não foi?!

Calma, calma, calma. Não criemos pânico! Vamos pensar juntos em como mudar essas unidades. Vem comigo!

Bom, nós queremos transformar centímetro em metro, segundo para dia e, por fim, grama para quilograma !!

Vamos dar uma olhada nas transformações?

O centímetro está no numerador, então ele vai para o denominador no fator de conversão !! E não se esqueçam, o centímetro está elevado a , então elevamos o fator também, ok?

O segundo está no denominador, então ele vai para o numerador no fator de conversão !! E não se esqueçam, o segundo também está elevado a

E para finalizar, o grama está no denominador, então ele vai para o numerador no fator de conversão e aqui não elevamos a nada, não é?

Agora multiplicamos tudo !!

Reparem se as unidades se cancelam, isso é importantíssimo !!

Sobrou direitinho as unidades que queríamos, certo? Então agora é só multiplicar:

Finalizamos mais uma! 😊

Vamos que vamos ?!

Primeiro, vamos dar uma olhada em como cada uma dessas unidades deveriam estar no SI?

O é medida de comprimento, de força, de tempo e de massa!

Para o sistema internacional temos que a medida de comprimento é o metro, a de força o newton, o de tempo segundos e o de massa quilograma.

Shooow de bola !! Agora que já sabemos vamos ver as transformações?

Vamos fazer a mesma análise que das anteriores, ok?

Os termos ft e lbf estão no numerador no problema, por isso na razão vamos colocá-los no denominador:

Os termos min e ton estão no denominador no problema, por isso na razão vamos colocá-los no numerador:

Agora vamos multiplicar tudo?

Olhem só como as unidades se cancelam:

Bora multiplicar?

Chegamos no que queríamos !!

Mais uma pra vocês ficarem feras !!

Primeiro, vamos dar uma olhada em como cada uma dessas unidades deveriam estar no CGS?

O é medida de comprimento, de força, de tempo e de massa!

Para o sistema CGS temos que a medida de comprimento é o centímetro, a de força o dina, o de tempo segundos e o de massa grama.

Shooow de bola !! Agora que já sabemos vamos ver as transformações?

Vamos fazer a mesma análise que das anteriores, ok?

Os termos ft e lbf estão no numerador no problema, por isso na razão vamos colocá-los no denominador:

Os termos min e ton estão no denominador no problema, por isso na razão vamos colocá-los no numerador:

Agora vamos multiplicar tudo?

Olhem só como as unidades se cancelam:

Bora multiplicar?

Chegamos no queríamos !!

Shooow galerinha !! Preparados ?!

Primeiro, tudo o que queremos aqui deverá estar na unidade de , então vamos transformar o raio de para !!

Se lembram da transformação?

Como a unidade metro está no numerador do raio, no fator de conversão esta unidade deve vir no denominador:

Para transformar, basta multiplicar !!

O metro do denominador se cancela com o do numerador e sobra somente a unidade de quilômetro, certo?

Agoora sim !! Podemos continuar !

Queremos achar o comprimento da Terra, certo? Como a Terra é uma esfera, na verdade, o que queremos é o comprimentos de uma esfera bem grande, tranquilo?

O comprimento de uma circunferência é calculado pela fórmula:

Como o raio já está na unidade de interesse, vamos só substituir:

considerando e multiplicando os números que não são potência de , teremos

Para a letra (b) queremos achar a área! E para uma esfera a área é dada pela fórmula:

E substituindo:

vamos fazer primeiro o que está elevado ao quadrado

Repare que a unidade também ficou elevada ao quadrado. agora multiplicando todo mundo que não é potência de , fica aproximadamente

andando com a vírgula casas para a esquerda precisamos somar no expoente da potência. Então

Quem aí lembra qual é a fórmula do volume para uma esfera para resolver a letra (c)?

E substituindo:

vamos fazer primeiro o que está elevado ao quadrado

agora multiplicando todo mundo que não é potência de , fica aproximadamente

andando com a vírgula casas para a esquerda precisamos somar no expoente da potência. Então

E assim nós terminamos !!

Vamos seguindo ??

Bom, primeira coisa que precisamos é lembrar qual a unidade para pressão, certo?

No sistema irternacional de unidades a unidade da pressão é o (Pascal), vamos abrí-la um pouco?

O é unidade de massa (M), o de comprimento (L) e de tempo (T).

Então vamos colocar essas unidades na fórmula de forma diferente?

Vamos guardar esta informação no coração, ok?

O problema nos disse que a pressão pode ser obtida em função da densidade e da velocidade!!

Normalmente, a densidade no sistema internacional é dada pela unidade:

E para a velocidade:

Agora que temos as unidades, precisamos achar uma combinação entre e que permita chegar na unidade de !!

Vamos começar testando a combinação :

Então essa combinação não funcionou !!

Como precisamos achar no denominador, vamos tentar colocar a velocidade ao quadrado, ou seja, :

E olha que legal !! Achamos uma fórmula para a pressão !!

Essa questão é muito importante pessoal. Muitas vezes esquecemos da fórmula para achar uma variável específica, mas olhando para as unidades poderemos obtê-la !

Olha como essa é legal, ein !!

Para começar nós precisamos perceber que o volume de uma praia é equivalente ao volume ocupado pelos grãos de areia !!

Temos um valor desconhecido de grãos de areia na praia, cada grão possui um volume aproximado . Sendo assim, o volume total da praia, , é dado pelo volume total dos grãos:

Vamos precisar supor que os grãos são esferas, e o volume de uma esfera é dado por:

Substituindo:

Se precisamos achar quantos grãos de areia existem na praia vamos isolar o , ok?

Primeiro o termo passa para o outro lado multiplicando:

E agora passa para o outro lado dividindo:

Beleza !! Temos a fórmula mas nada do volume da praia ou do raio do grão de areia !

Então, novamente, faremos uma suposição que se aproxime da realidade!!

Lembrando que o volume da praia pode ser escrito como:

Agora precisamos especular uns valores para o comprimento, a largura e a profundidade da praia. Fica tranquilo que esses valores não não fixos, você pode escolher o valor que quiser, desde que seja coerente com a realidade.

Tipo... não faz sentido pensar em um valor para o comprimento da praia como sendo , onde já se viu uma praia de ?? Mas uns , por exemplo, já está mais dentro da realidade, concorda?

Então, vamos dizer que, aproximadamente:

Lembrando da transformação de para

Então, no fator de conversão o vai para o denominador:

E multiplicando ao raio do grão:

E aplicando tudo isso na fórmula:

Teremos aproximadamente grãos de areia na praia !!

Bora para mais uma bem interessante !!

Precisamos achar na letra (a) a unidade da constante, certo?

Antes de qualquer coisa, vamos isolar a constante na fórmula? Para isso basta passarmos o valor de para o outro lado dividindo:

No sistema internacional a unidade de força é o newton (N), abringo um pouquinho:

E a distância, no SI:

O é unidade de massa (M), o de comprimento (L) e de tempo (T).

Então vamos colocar essas unidades de forma diferente?

Substituindo as unidades na fórmula da constante:

Tranquilo, não foi?

Beleza !! Agora, na letra (b) queremos saber qual a dimensão da multiplicação ok?

Já sabemos as dimensões de e de , então basta aplicarmos na fórmula, tudo bem?

É importante notarmos aqui que esta unidade tem um nome específico, lembram dele?

É o Joulee (J) !!

E no sistema internacional? Como essas unidades ficariam?

Já vimos no Passo 1 que: é unidade de massa (M), o de comprimento (L) e de tempo (T) no SI, certo?

Então vamos substituir:

Shooow de bola !!

Bora finalizar com chave de ouro?!

Vocês devem lembrar lá do ensino médio que a força peso é dada por:

Olhando as unidade do SI:

Substituindo:

Então, o “newton” é definido como a unidade de força requerida para acelerar a massa de um kg com a aceleração da gravidade na superfície da Terra (em ), tranquilo?!

Analogamente, para o caso da unidade fictícia do problema:

Então:

Agora que já sabemos, vamos guardar esta informação, ok?!

Então beleza !!

O problema nos disse que: a aceleração da gravidade na superfície da lua é igual a da aceleração normal da gravidade na Terra, ou seja:

Sabendo que:

Então:

Colocando estes valores na fórmula da força peso:

Ou melhor:

Quanto valem na Terra?!

A única coisa que muda aqui é a gravidade, certo? Substituindo este valor na força peso:

Ou melhor:

Legal, não foi?!