Vamos analisar juntos todas as alternativas, começando pela primeira:

A lei de Gauss só se aplica a esse problema se escolhermos superfícies gaussianas cúbicas, haja vista a simetria do sistema.

Bom pessoal, a Lei de Gauss só especifica que a superfície gaussiana deve ser fechada em torno da carga que desejamos calcular o fluxo, mas não fala de sua forma. Então a superfície pode ter qualquer formato, como esfera, cilindro ou cubo, desde que englobe todas as cargas.

Por exemplo:

A afirmativa é falsa!

A segunda afirmativa diz:

A lei de Gauss deixa de ser aplicável a esse problema se escolhermos superfícies gaussianas que interceptam o cubo carregado.

A Lei de Gauss continua se aplicando se cortar o cubo, a única coisa que vai mudar é que teremos apenas parte da carga do cubo no interior da superfície gaussiana, veja:

Então a afirmativa é falsa!

A última afirmativa é:

A lei de Gauss simplesmente não se aplica a esse problema

Já vimos que a Lei de Gauss se aplica a esse problema. O único desafio é escolher a melhor superfície gaussiana que facilite os cálculos.

Então a afirmativa está incorreta!

Logo nenhuma das afirmativas está correta e a resposta certa será a letra “h”!

Vamos analisar cada uma das afirmativas e considerar o que são as verdadeiras e qual é a falsa! Olhando para a primeira alternativa:

O fluxo elétrico e a carga elétrica variam proporcionalmente, porém o tamanho da superfície fechada não influencia a intensidade do fluxo elétrico.

Então pessoal, podemos definir o fluxo do campo elétrico como a divisão entre a carga e a permissividade elétrica do meio:

Ou seja, conforme aumentamos a carga elétrica, aumentamos o fluxo elétrico. Mas percebe que em nenhum momento falamos sobre o tamanho da superfície gaussiana?

É porque isso não influencia na Lei de Gauss, a única coisa que essa superfície precisa ser é fechada!

Então a primeira afirmativa é verdadeira!

Analisando a segunda afirmativa:

Para cargas positivas distribuídas em um determinado ponto, o vetor campo elétrico é orientado para fora da superfície.

Vamos lembrar sobre essa convenção sobre as linhas de campo elétrico para cargas positivas. Essas linhas de campo elétrico apontam de dentro da carga para fora:

Então se colocarmos uma superfície gaussiana em torno da carga, o vetor campo elétrico apontará para fora da superfície:

Então a segunda afirmativa é verdadeira!

A letra “c” tem a seguinte afirmativa:

Quando não há distribuição de cargas na superfície, o vetor campo elétrico é nulo.

Bom, gente, falamos que o campo elétrico depende da carga interna dentro da superfície gaussiana. Ou seja, quando não temos essa carga dentro da superfície, não teremos o vetor campo elétrico.

Então essa afirmativa também é verdadeira!

A próxima alternativa diz que:

Para cargas negativas distribuídas em um determinado ponto, o vetor campo elétrico é orientado para fora da superfície.

Pessoal, se na segunda afirmativa, nós dissemos que o vetor campo elétrico aponta para fora da superfície quando estamos com uma carga elétrica positiva dentro da superfície gaussiana. Como pode acontecer o mesmo para carga negativa? Não pode!

Cargas negativas fazem com que as linhas de campo apontem de fora para dentro da carga:

Colocando uma superfície gaussiana em volta da carga elétrica negativa, teremos:

Então o vetor campo elétrico aponta para dentro da superfície gaussiana!

A afirmativa é falsa!

Bom pessoal, vamos começar fazendo o que ele fez, supondo um condutor que é um fio:

No enunciado é dito que foi traçada uma superfície gaussiana, que não é especificada a forma, então vamos traçar isso:

Como falamos que é um condutor, precisamos entender que condutores concentram sua carga em sua superfície! Ou seja, não tem cargas no centro do condutor:

Dessa forma, se não existe carga no interior do condutor, não existe campo elétrico dentro desse condutor.

Percebe que nós não tivemos necessidade de especificar qual o material desse condutor? Só falamos que era condutor e sobre a carga que se distribui na superfície externa.

Então chegamos a conclusão que a afirmativa 1 está correta, assim como a 2. Enquanto a afirmativa 3 está errada!

Vamos com calma entender o que o enunciado nos disse! Ele fala:

“o fluxo do campo elétrico é o produto escalar do vetor campo elétrico com o vetor normal da superfície gaussiana.”

Passando isso para forma de equação, nós temos:

Onde é o fluxo do campo elétrico, é o vetor normal da superfície gaussiana e por último, é o vetor campo elétrico.

Talvez, você esteja um pouco confuso, porque normalmente escrevemos os vetores da seguinte forma:

: vetor campo elétrico

: vetor normal da superfície gaussiana

Mas colocar em negrito, em alguns momentos também indica que é um vetor. Certo?

Tudo bem, então ele nos deu 2 vetores e disse que deseja fazer um produto escalar, mas o que isso significa?

Significa que vamos somar o produto das mesmas coordenadas entre os dois vetores formando um número real. Calma, vamos usar esse exemplo, temos esses dois vetores:

Vamos separar as coordenadas :

Separando as coordenadas :

Separando as coordenadas :

O produto escalar será o fluxo de campo elétrico, então:

Multiplicando as coordenadas correspondentes entre os dois vetores e somando essas multiplicações:

Realizando essas multiplicações:

Chegamos ao final, mas não vamos esquecer a unidade de medida né?

Resposta

Meu caro, você viu a maldade desse enunciado? Se você não percebeu, eu te mostro!

Ele disse que o vetor campo elétrico é constante e direcionado no sentido do eixo :

Como o vetor campo elétrico não muda, então tudo que entra de campo elétrico é igual a tudo que sai do cubo:

O fluxo total do cubo é igual ao fluxo que entra menos o fluxo que sai:

Como o fluxo não muda:

E a área do cubo não muda, então o fluxo que entra é igual ao fluxo que sai:

Logo, o fluxo através do cubo é igual a zero:

Primeiro de tudo, você deve estar se perguntando: O que é bissetriz? Bom, é bem simples, é apenas uma reta que divide um lado em dois lados iguais. Dessa forma, a reta entre as cargas está dividida ao meio em partes iguais:

Você concorda comigo que por terem a mesma carga em módulo e a mesma distância, tanto a carga positiva quanto a carga negativa darão origem a campos elétricos de mesmo módulo? Mas com sentidos diferentes.

Se você não acredita em mim, veja a fórmula do módulo do campo elétrico:

Quanto a direção dos campos elétricos gerados pelas cargas. Olhando primeiro para a carga positiva:

Sabemos que as linhas de campo saem da carga em direção ao lado externo.

Enquanto no caso das cargas negativas, o oposto ocorre:

As linhas de campo apontam para a carga.

Dessa forma as linhas de campo do nosso desenho sairão da carga positiva e irão para a carga negativa:

Vamos agora colocar a nossa superfície gaussiana na linha do ponto :

Vemos que todas as linhas de campo elétrico que entram na superfície gaussiana em verde, também saem da superfície gaussiana.

Como não temos variação do campo elétrico entre as linhas que entram e as linhas que saem naquele ponto, também não teremos fluxo elétrico.

Então pessoal, a Lei de Gauss define o fluxo do campo elétrico como a divisão entre a carga e a permissividade elétrica do meio:

Mas quem é a carga interna? É a soma de todas as cargas que estão dentro da superfície , que são:

e

Logo a carga interna será:

Logo a carga total será igual a zero:

Se a carga interna é igual a zero, substituindo na equação do fluxo de campo elétrico:

Sabemos que o número zero dividido por qualquer número é igual a zero, logo o fluxo de campo elétrico será igual a:

Pronto, pessoal, foi tranquilo, certo? Já chegamos na resposta.

Pessoal, o enunciado nos diz que tem uma superfície fechada com duas cargas dentro, olha pro desenho:

Sendo que podemos definir que o fluxo do campo elétrico é igual a carga total interna dividida pela permissividade elétrica do meio em que a carga está. Vamos olhar para equação que representa isso:

Como o enunciado não deixa claro em que ambiente as cargas estão posicionadas, podemos considerar que as cargas estão no vácuo. Logo, a permissividade considerada será igual a permissividade do vácuo:

Mas quem é a carga interna? É a soma das duas cargas que estão dentro da superfície!

Apenas as cargas internas, beleza, pessoal? Certo!

Agora se as duas cargas tem o mesmo sinal e os módulos também são iguais, então as cargas são iguais:

Então a carga interna será:

Igual a:

Substituindo isso na equação do fluxo do campo elétrico:

Pronto, chegamos na resposta final! Uhul! Bem simples, certo? Então vamos continuar aprendendo.

Bom pessoal, sabemos que a Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico é igual a divisão entre a carga interna a superfície gaussiana e a permissividade elétrica do meio . Não fique assustado não, vamos colocar isso em forma de equação:

Mas quem é a carga interna a essa superfície cúbica? Aquele pontinho de carga que o enunciado já nos disse que vale:

Então substituindo na equação do fluxo elétrico, temos:

Como o enunciado não nos disse em que meio a carga e a superfície gaussiana estão, podemos considerar que o meio é o vácuo. E qual é a permissividade elétrica do vácuo? Já sabemos, sempre se lembre, porque utilizamos muito:

Vamos colocar em nossa equação do fluxo elétrico:

Vamos fazer esse cálculo juntos? Então vamos lá. Primeiro, vamos realizar a divisão entre as potências de .

Para essa divisão, usamos uma regrinha: como é uma divisão entre potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes, dessa forma:

Quanto aos expoentes:

Então:

Voltando para o fluxo elétrico:

E quanto vale essa divisão entre e :

Então voltando ao fluxo elétrico, temos:

Não esquece a unidade!

A superfície do cubo é fechada, então podemos usar tranquilamente a Lei de Gauss para calcular o fluxo elétrico. Imagina esse cubo azul e esse elétron em amarelo:

Queremos saber o fluxo em uma das faces do cubo, imagine que seja a face inferior do cubo que está pintada de azul!

A Lei de Gauss nos diz que podemos calcular o fluxo elétrico é igual a divisão entre a carga interna a superfície gaussiana, no caso a carga de um elétron que está dentro da superfície gaussiana cúbica, e a permissividade elétrica do meio:

Mas quem é a carga interna a essa superfície cúbica? É o elétron e a carga do elétron vale:

Então substituindo na equação do fluxo elétrico, temos:

Como o enunciado não nos disse em que meio a carga e a superfície gaussiana estão, podemos considerar que o meio é o vácuo. E qual é a permissividade elétrica do vácuo? Já sabemos, sempre se lembre, porque utilizamos muito:

Vamos colocar em nossa equação do fluxo elétrico:

Vamos fazer esse cálculo juntos? Então vamos lá. Primeiro, vamos realizar a divisão entre as potências de .

Para essa divisão, usamos uma regrinha: como é uma divisão entre potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes, dessa forma:

Quanto aos expoentes:

Então:

Voltando para o fluxo elétrico:

E quanto vale essa divisão entre e :

Mais uma regra, divisão entre dois números com sinais opostos, leva o sinal negativo!

Então voltando ao fluxo elétrico, temos:

Calma que ainda não acabou, tem mais um detalhe: Esse fluxo que calculamos pela Lei de Gauss é o fluxo sob toda a superfície fechada do cubo. Mas o nosso exercício pede o fluxo através de uma única face do cubo!

Mas fica calmo e pense comigo, como o cubo tem lados e é um objeto simétrico, o fluxo através de uma face é igual ao fluxo total dividido por , certo? Veja:

Vamos substituir o fluxo elétrico total que calculamos no passo anterior:

Dividindo por :

Então:

Prontinho, agora sem medo, podemos dizer que chegamos na resposta certa!