A – Aplique à solução geral obtida no problema 2 as condições em que R ( r ) e consequentemente que u ( r ) , deve ser finita, contínua, unívoca e ter as primeiras derivadas com as mesmas propriedades.

B – Mostre que a aplicação destas condições em r = 0 ,   r = r ' e   r → ∞ conduz à relação

2 μ V 0 - Δ E h cot ⁡ 2 μ V 0 - Δ E h r ' = - 2 μ Δ E h  

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!

A - A fim de mostrar que as soluções para u (r) da equação de Schroedinger para um deuteron ligado é

- h 2 2 μ d 2 u r d r 2 + V r u r = E u r   ( 1 )

E temos que as soluções gerais para as equações acima

u 1 r = A sin ⁡ k 1 r + B cos ⁡ k 2 r ,     r < r '   ( 2 )

u 2 r = C e - k 1 r + D e k 2 r ,     r > r '   ( 3 )

Para um dêuteron em um potencial de poço quadrado de tamanho V 0 , raio r ' e energia de ligação Δ E dá a relação:

2 μ V 0 - Δ E h cot ⁡ 2 μ V 0 - Δ E h r ' = - 2 μ Δ E h

Agora pegue duas constantes da seguinte forma

k 1 = 2 μ V 0 - Δ E h   e   k 2 = 2 μ Δ E h

Observe que u r = r ∙ R ( r ) com R ( r ) sendo a equação para a dependência radial da autofunção, neste caso, u r e R ( r ) são autofunções, elas e seus derivadas devem ser contínuas de valor único e finitos em todos os pontos.

Portanto, pode-se dizer imediatamente que D da equação deve ser igual a 0, caso contrário, u 2 ( r ) iria para o infinito quando r → ∞ , observe também que u 2 ( r ) poderia ir também ao infinito caso r → - ∞ , devido ao exponencial negativo, valores negativos de ‘r’ não são permitidos, pois é apenas uma medida de distância da origem (portanto não pode ser negativo). Portanto, aplique essa condição a equação

u 2 r = C e - k 1 r + 0 e k 2 r = C e - k 1 r

Além disso, o B terá que ser zero, caso contrário, o R (r) irá para o infinito quando r → 0 , logo

R 1 r = A s i n   k 1 r r + B c o s   k 1 r   r

O A permanece diferente de zero porque o termo do seno também vai para 0, com o sin ⁡ k 1 r r se aproximando de um valor finito quando r → 0 . Então vamos aplicar essa condição a equação (2)

u 1 r = A sin ⁡ k 1 r + 0 cos ⁡ k 1 r = A sin ⁡ k 1 r

Passo 2

Então, para o caso de u 1 r ser contínuo com u 2 r no ponto de cruzamento r = r ' , ambas as funções e suas primeiras derivadas necessitam ser iguais neste ponto. Vamos começar tendo as funções em contínuo, configurando u 1 r no ponto de r = r ' . Logo:

u 1 r ' = u 2 ( r ' )

Com isso

A sin ⁡ k 1 r ' = C e - k 2 r

Agora, vamos encontrar as derivadas

u 2 r ' = C e - k 2 r '

d u 2 r ' d r =   - k 2 C e - k 2 r '

E

u 1 r = A sin ⁡ k 1 r '  

d u 1 r d r = A k 1 cos ⁡ k 1 r '

Agora, é somente igualar as duas derivadas

A k 1 cos ⁡ k 1 r ' = - k 2 C e - k 2 r '

Vamos isolar o A, com isso nós temos

A =   - k 2 C e - k 2 r ' k 1 cos ⁡ k 1 r '

Bem, isso é algo meio confuso, mas vai facilitar muito as coisas, vamos colocar esse A na equação da função (e não nas derivadas)

- k 2 C e - k 2 r ' k 1 cos ⁡ k 1 r ' sin ⁡ k 1 r ' = C e - k 2 r '

Alguns termos se anulam, com isso nós temos

- k 2 sin ⁡ k 1 r ' cos ⁡ k 1 r ' = k 1

Seno dividido por cosseno é igual a tangente

- k 2 tan ⁡ k 1 r ' = k 1

Logo,

- k 2 = k 1 cot ⁡ k 1 r '

Aplicar todas as condições produz a equação transcendental igual a - k 2 = k 1 cot ⁡ k 1 r ' . E essa é a resposta da letra a 😊.

Passo 3

B - Para mostrar que a equação transcendental dá equação, substitua k 1 e k 2 com suas expressões da equação

- k 2 = k 1 cot ⁡ k 1 r '

E

2 μ V 0 - Δ E h cot ⁡ 2 μ V 0 - Δ E h r ' = - 2 μ Δ E h

Uma vez que isso corresponde à equação (2) é a solução para a equação (1).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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