Enunciado
Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 6
Numa certa região de temperatura, o grafite pode ser considerado como um sólido de Debye bidimensional, embora existam ainda modos por mol.
A – Mostre que , onde A é a área da amostra.
B – Deduza uma expressão para e do grafite.
C – Mostre que a baixas temperaturas o calor específico é proporcional a .
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!
Primeiro, vamos calcular o número de modos disponíveis em duas dimensões nas coordenadas polares, com isso nós temos:
O fator de um quarto vem da densidade dos pontos da rede. Usando o relacionamento, onde é a distância entre os átomos.
Agora, nós vamos substituir o r, com isso nós obtemos o seguinte resultado:
Desenvolvendo o produto, nós temos:
E finalmente, nós temos de resultado:
Passo 2
Para a letra b, a frequência máxima é dada por:
Substituindo o , nós temos:
Resolvendo a integral, nós temos o seguinte resultado:
Com isso, nós temos , que é igual a:
O é dado por:
Passo 3
Para a letra c, a energia total do sólido, que é dado por:
Desenvolvendo a equação, nós temos:
A energia é dada por:
Que pode ser reescrito da seguinte forma:
Como , nós temos a seguinte relação:
Com isso, o calor específico é dado por:
Em baixas temperaturas, o segundo termo vai para zero, e a integral pode ser resolvida mesmo se considerar ela como imprópria, então, por aproximação, nós temos:
Portanto, pode ser considerado como:
Portanto, o calor específico em baixas temperaturas é proporcional ao quadrado da temperatura.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)