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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 42.Problemas adicionais - Ex. 74

Em uma certa rocha, a razão entre o número de átomos de chumbo e o número de átoos de uranio é 0,300 . Tome a meia-vida do urânio como 4,47 ⋅ 10 9   a n o s e suponha que a rocha não continha chumbo quando se formou. Qual é a idade da rocha?

Passo 1

O problema fala sobre uma rocha, composta inicialmente apenas por urânio que com o tempo decai em chumbo. Foi fornecida a meia vida do urânio: T = 4,47 ⋅ 10 9   a n o s . O número de átomos de urânio decai exponencialmente:

N U = N 0   e - λ t

Já o número de átomos de chumbo será igual ao número de átomos de urânio que dacaíram. Inicialmente tínhamos N 0 átomos de urânio e após um tempo t , temos N 0 e - λ t . Assim, o número de átomos de chumbo será

N P b = N 0 - N 0 e - λ t = N 0 1 - e - λ t

Passo 2

Assim, temos que a razão entre o número de átomos de chumbo e o número de átomos de urânio é

N 0 1 - e - λ t N 0   e - λ t = 1 - e - λ t e - λ t = e λ t - 1 = 0,300

Portanto,

e λ t = 1,300 ⇒ λ t = ln ⁡ 1,300

Logo,

t = ln ⁡ 1,300 λ

Passo 3

Por outro lado, sabemos que

λ = ln ⁡ 2 T

Portanto,

t = ln ⁡ 1,300 ln ⁡ 2 ⋅ T = ln ⁡ 1,300 ln ⁡ 2 ⋅ 4,47 ⋅ 10 9   a n o s

Assim,

t = 1,7 ⋅ 10 9   a n o s

Resposta

1,7 ⋅ 10 9   a n o s

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