O cilindro fechado da possui um pistão de encaixe bem apertado, porém desprovido de atrito, de massa M. O pistão encontra-se em equilíbrio quando a pressão na câmara da esquerda for P 0 e seu comprimento ser L 0 com a mola à direita comprimida em ∆ L

a) expresse ∆ L em função de P 0 ,   L 0 ,   A ,   M   e   K .  

b) Suponha que o pistão seja deslocado para a direita cm uma pequena distância x. Obtenha uma expressão para a força resultante ( F x ) r e s exercida sobre o pistão. Considere que todos os movimentos sejam realizados com suficiente lentidão de modo que o gás permaneça à mesma temperatura que sua vizinhança.

c) Quando liberado, o pistão oscilará em torno de urna posição de equilíbrio. Considerando que x ≪ L 0 , obtenha uma expressão

para o período de oscilação T.

Passo 1

Falaaaaa rapazia da tudo blz?

Na letra (a) suponha que o gás a esquerda da câmara seja ideal para o pistão estar em equilíbrio .

F x r e s = P 0 A - K ∆ L → ∆ L = P 0 A K

Passo 2

Já na letra (b), quando o pistão é movido para direita a mola é comprimida chamando ela de ∆ L + x e a pressão da câmara muda P 1 , quando a temperatura não muda a equação do gás ideal reduz para P 0 V 0 = P 1 V 1 , sendo L 0 = L 0 A   e   V 1 = L 0 + x A , com isso

P 1 = P 0 L 0 L 0 + x

F x n e t = P 1 A - K ( ∆ L + x )

F 1 = P 0 L 0 ( L 0 + x ) A - K P 0 A K + x

Aplicando a aproximação binominal temos,

L 0 + x - 1 ≈ 1 L 0 1 - x L 0 para x ≪ L 0

Com isso temos,

F x n e t = P 0 L 0 1 L 0 1 - x L 0 A - P 0 A - K x = P 0 A - P 0 A x L 0 - P 0 A - K x = P 0 A L 0 + K x

Passo 3

Na letra ( c ), uma vez que temos uma lei de hook para qual conhecemos o k modificado, substituindo este k na equação de período temos que,

T = 2 π M P 0 A L 0 + K

Resposta

a) ∆ L = P 0 A K

b) F x n e t = P 0 A L 0 + K x

c) T = 2 π M P 0 A L 0 + K

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