Uma corda de comprimento L, massa por unidade de comprimento m e tensão T vibra em sua frequência fundamental. (i) Se o comprimento da corda é dobrado e todos os outros fatores forem mantidos constantes, qual é o efeito sobre a frequência fundamental? (a) Fica duas vezes maior. (b) Fica 2   vezes maior. (c) Fica inalterada. (d) Fica 1 2     vezes o tamanho. (e) Fica metade do tamanho. (ii) Se a massa por unidade de comprimento for dobrada e todos os outros fatores forem mantidos constantes, qual é o efeito sobre a frequência fundamental? Escolha entre as mesmas possibilidades da parte (i). (iii) Se a tensão é dobrada e todos os outros fatores forem mantidos constantes, qual é o efeito sobre a frequência fundamental? Escolha entre as mesmas possibilidades da parte (i).

Passo 1

Fala galera, tudo certo?

Bora lá

Sabemos que o cálculo para frequência de modos normais para corda é dado pela equação

f n = n 2 L ⋅ T μ

A frequência fundamental f 1 é:

f 1 = 1 2 L ⋅ T μ

Portanto, para que a frequência fundamental seja modificada, é necessário alterar alguma variável que esteja diretamente ligada á equação de f 1 .

Passo 2

  1. Para a situação em que o comprimento da corda é dobrado, teremos L i = 2 L
  2. f 1   1 = 1 2 L i ⋅ T μ

    f 1   1 = 1 2 ⋅ ( 2 L ) ⋅ T μ

    f 1   1 = 1 2 ⋅ 1 2 L ⋅ T μ

    Pela equação final f 1   1 , podemos observar que ela está pela metade.

    Passo 3

  3. Com a massa por unidade de comprimento dobrada μ i i = 2 μ
  4. f 1   2 = 1 2 L ⋅ T μ i i

    Substituindo a massa por unidade de comprimento, iremos encontrar

    f 1   2 = 1 2 ⋅ 1 2 L ⋅ T μ

    Pode se notar, então que a frequência fundamental para a situação (ii) é

    f 1   2 = 1 2 ⋅ f 1

    Passo 4

  5. Para a situação em que apenas a tensão (T) é dobrada, teremos:

T i i i = 2 T

f 1   3 = 1 2 L ⋅ T i i i μ

Substituindo

f 1   3 = 1 2 L ⋅ 2 T μ

f 1   3 = 2 ⋅ 1 2 L ⋅ T μ

A frequência fundamental fica em

f 1   3 = 2 ⋅ f 1

Resposta

Portanto, para as situações apresentadas, as respostas de (i), (ii), e (iii) são (e), (d) e (b), respectivamente.

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