Enunciado
Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 13
(a) Determine a ordem de grandeza da fração dos átomos de hidrogênio num estado com número quântico principal n = 2 em relação aos que se encontram com n = I num gás a 300 K.
(b) Leve em conta a degenerescência dos estados correspondentes aos números
quântico n= I e 2 do hidrogênio atômico e determine a que temperatura aproximadamente um átomo em cem se encontra num estado com n=2.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!
Para um átomo que tem um elétron, os níveis de energia são:
Temos nessa equação, o Z é o número atômico, n é o principal número quântico (1,2,3,...); o termo é a carga do elétron ; é a permissividade no vácuo . Agora vamos para a massa reduzida do elétron, que é dada pela seguinte relação:
Sendo que, temos a massa do elétron, e o M é a massa do núcleo. Calculando os níveis de energia de um átomo de hidrogênio em termos de um número quântico n, onde a massa M é a do próton, com isso, nós temos:
Reduzindo e simplificando essa continha do capiroto angelical, nós temos:
Convertendo este resultado para a unidade de elétron-volt, temos:
Passo 2
A diferença de energia entre e dos estados é igual a:
Com isso, substituindo os valores, nós temos:
Esse termo pode ser denotado da seguinte forma:
Agora, o ponto é inserir este resultado no fator de Boltzmann, sob as condições de temperatura a 300 K e para o termo J/K, que é a constante de Boltzmann. Com isso, nós teremos o seguinte resultado:
Esse resultado dá uma ordem bem extensa, basicamente um exponencial elevado a menos 395, com isso, temos que é igual a:
Portanto, a fração dos átomos de hidrogênio em um estado para aqueles em um estado em uma temperatura de 300 K é da ordem de , e essa foi a resposta da letra a 😊.
Passo 3
Para a letra b, nós vamos explicar a degeneração dos estados, dividindo cada população no fator de Boltzmann pelo número de habitantes permitidos de cada estado, com isso, nós temos:
Resolvendo esta equação para a temperatura em termos da proporção relativa das “populações”, nós temos:
Com isso, temos que a temperatura é dada por:
Substituindo para uma proporção de 1/100 para a proporção relativa dos átomos no estado 2 para aqueles no estado 1, nós temos:
Portanto, a temperatura que aproximadamente 1 átomo em mil está no estado 2 é de