Se as dimensões lineares de um certo objeto são dobradas, em quanto cresce sua área superficial? Em quanto cresce seu volume?

Passo 1

Fala galerinha. Tudo tranquilo? Espero que sim.

Nessa questão temos a pergunta de se o comprimento de um objeto é dobrado, de quanto aumenta sua área superficial e seu volume?

Pra simplificar, vamos considerar que temos um cubo de 1   c m de lado e ele aumentou pra 2   c m . Quanto vai aumentar sua área superficial e seu volume, lembrando que a área é o que a gente pinta e volume a gente enche de água.

Passo 2

Se o cubo começa com 1 c m   de lado, vamos ter que o lado l = 1   c m . Agora pra calcular o volume e a área, vamos ter

V i = l 3

Sendo V o volume e

A s i = 6 l 2

Sendo A s a área superficial total do cubo.

Substituindo o valor do lado, vamos ter

V i = 1 3 = 1   c m 3

E para a área superficial

A s i = 6 ∙ 1 2 = 6 ∙ 1 = 6   c m 2

Esses são os valores que vamos ter como referência pra comparar e ver o quanto aumentou.

Passo 3

Agora com o lado l = 2   c m vamos ter os valores

V f = 2 3 = 8   c m 3

E para a área superficial

A s f = 6 ∙ 2 2 = 6 ∙ 4 = 24   c m 2

Temos os valores finais do que queremos. Agora pra comparar, vamos dividir os valores finais pelos iniciais e ver quanto aumentou de cada.

Para o volume, o valor final é V f = 8   c m 3 e o valor inicial é V i = 1   c m 3 . Assim vamos ter

V f V i = 8 1 = 8

Assim, o volume final do cubo é 8 vezes maior que o volume inicial. Então o volume aumentou 8 vezes.

Para a área superficial temos para o valor final A s f = 24   c m 2 e para o valor inicial A s i = 6   c m ^ 2 . Dividindo o final pelo inicial da mesma forma que fizemos no volume

A s f A s i = 24 6 = 4

Dessa forma, a área superficial final do cubo é só 4 vezes maior que a área superficial inicial. Então a área aumentou 4 vezes.

Essa diferença se dá porque a área depende do quadrado da dimensão linear enquanto o volume depende do cubo.

Resposta

A área cresce com o quadrado dessa dimensão, enquanto o volume cresce com o cubo dessa dimensão.

Mais uma feita. Bora pra mais uma?

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