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Enunciado

Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 1.Questões - Ex. 16

Mostre que a constante de Planck tem dimensões de momento angular. Isto necessariamente sugere que o momento angular é quantizado?

Passo 1

Para mostrar que a constante de Planck h tem dimensão de momento angular, basta lembrar que

Δ E = h ν

Assim,

e n e r g i a = h   f r e q u e n c i a → h = e n e r g i a f r e q u e n c i a

A constante de Planck tem dimensão de energia por frequência. Se lembrarmos que frequência tem dimensão de inverso de tempo, achamos

h = e n e r g i a   t e m p o

Lembrando que a energia cinética é K = m v 2 / 2 , temos

e n e r g i a = m a s s a   v e l o c i d a d e 2 = m a s s a   c o m p r i m e n t o 2 t e m p o 2

Portanto,

h = m a s s a   c o m p r i m e n t o 2 t e m p o 2 ⋅ t e m p o = m a s s a   c o m p r i m e n t o 2 t e m p o

Passo 2

O momento angular de uma partícula na posição r → com momento linear p → é

L → = r → × p →

Assim, a dimensão de momento angular é

L = c o m p r i m e n t o   p

Como p = m v , temos que

p = m a s s a   v e l o c i d a d e = m a s s a   c o m p r i m e n t o t e m p o

Assim,

L = m a s s a   c o m p r i m e n t o 2 t e m p o

Comparando com a expressão do final do passo 1, temos

h = L

Portanto, a constante de Planck tem dimensão de momento angular! Todavia, isso não sugere que necessariamente o momento angular seja quantizado, apenas estabelece que eles têm a mesma dimensão.

Por exemplo, trabalho e torque apresentam a mesma dimensão (força vezes comprimento), mas não tem nenhuma relação entre si.

Resposta

Não sugere necessariamente.

Ver Outros Exercícios desse livro