Enunciado

Mostre que os resultados do calor específico de Debye, (11-31) se reduz à lei clássica de Dulong e Petit a altas temperaturas (Sugestão: Faça a expansão das exponenciais retendo somente os termos de primeira ordem. Justifique)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!

O calor específico de Debye c v é dado pela seguinte equação: x = h v k T . Esse termo todo é uma constante adimensional que vai representar a temperatura T com a frequência de radiação v, a constante de Planck e a constante de Boltzmann k, temos também que o Θ é a temperatura característica de Debye. Beleza, mas e a lei de Dulong e Petit? Bom, ela nos diz que para os sólidos, o produto do calor específico pela massa atômica é constante. Em termos matemáticos, nós temos:

lim t → ∞ ⁡ C v = 3 R

Ok, agora vamos para a expansão de Taylor, que é dado por:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! =   1 + x + x 2 2 ! + …

Essa expressão bem bonitinha é que vai nos ajudar a resolver o problema.

Passo 2

Bem, em altas temperaturas, os termos de c v , com T entre seus denominadores, se caso Θ T se torna pequeno, temos que para pequenos expoentes (do tipo 0 < x ≪ 1   ), os termos sucessivos nesta expansão se aproximam rapidamente de zero e a função exponencial pode ser bem aproximada, retendo apenas os termos até a primeira ordem. Com isso temos a seguinte aproximação:

e x ≈ 1 + x

Esta é uma expansão aproximada para pequenos expoentes, aplicando a aproximação aos termos exponenciais do calor específico:

c v = 9 R 4 T Θ 3   ∫ 0 Θ T   x 3 1 + x - 1 d x - Θ T 1 1 + Θ T - 1  

Desenvolvendo o produto, nós temos:

c v = 9 R 4 T Θ 3 ∫ 0 Θ T x 3 x d x - Θ T T Θ

Desenvolvendo um pouco mais, nós temos:

c v = 9 R 4 T Θ 3 ∫ 0 Θ T x 2 d x - 1

Resolvendo esta integral (que é bem simples por sinal), nós temos:

c v = 9 R 4 T Θ 3 1 3 Θ T 3 - 1 = 9 R 4 3 - 1

Com isso, nós temos:

c v = 9 R 1 3 = 3 R

Portanto, a altas temperaturas o calor específico se reduz a 3R, a lei clássica de Dulong e Petit.

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