Enunciado
Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 4
Mostre que os resultados do calor específico de Debye, (11-31) se reduz à lei clássica de Dulong e Petit a altas temperaturas (Sugestão: Faça a expansão das exponenciais retendo somente os termos de primeira ordem. Justifique)
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!
O calor específico de Debye é dado pela seguinte equação: . Esse termo todo é uma constante adimensional que vai representar a temperatura T com a frequência de radiação v, a constante de Planck e a constante de Boltzmann k, temos também que o é a temperatura característica de Debye. Beleza, mas e a lei de Dulong e Petit? Bom, ela nos diz que para os sólidos, o produto do calor específico pela massa atômica é constante. Em termos matemáticos, nós temos:
Ok, agora vamos para a expansão de Taylor, que é dado por:
Essa expressão bem bonitinha é que vai nos ajudar a resolver o problema.
Passo 2
Bem, em altas temperaturas, os termos de , com T entre seus denominadores, se caso se torna pequeno, temos que para pequenos expoentes (do tipo ), os termos sucessivos nesta expansão se aproximam rapidamente de zero e a função exponencial pode ser bem aproximada, retendo apenas os termos até a primeira ordem. Com isso temos a seguinte aproximação:
Esta é uma expansão aproximada para pequenos expoentes, aplicando a aproximação aos termos exponenciais do calor específico:
Desenvolvendo o produto, nós temos:
Desenvolvendo um pouco mais, nós temos:
Resolvendo esta integral (que é bem simples por sinal), nós temos:
Com isso, nós temos:
Portanto, a altas temperaturas o calor específico se reduz a 3R, a lei clássica de Dulong e Petit.