Mostre, por substituição, que a relação obtida no problema 3 tem uma solução com Δ E = 2,2   M e V (que é a energia de ligação do dêuteron observada experimentalmente) quando o potencial tem um raio r ' = 2,0   F e uma profundidade V 0 = 36   M e V .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!

Bem, no enunciado se fala que a energia do dêuteron é igual é 2,2   M e V quando o raio do poço de potencial em que ele está é 2,0   F e a profundidade do poço é 36   M e V , logo, a equação que rege a energia de ligação é igual a

2 μ ( V 0 - Δ E ) h cot ⁡ 2 μ V 0 - Δ E h r =   - 2 μ Δ E h

Para facilitar um pouco mais as coisas, necessitamos de utilizar a equação para a massa reduzida μ de um par de massas

μ = m 1 m 2 m 1 + m 2

Também será de grande valia converter a profundidade de poço para uma unidade de Fermi

36   M e V 10 6   e V 1   M e V 1,6 × 10 - 19   J 1   e V = 5,76 × 10 - 12   J

1,0   F = 1,0 × 10 - 15   m

Para mostrar que Δ E = 2,2   M e V é uma solução válida para equação de energia de ligação, nós temos que cancelar os termos dos dois lados da equação, no caso, o termo 2 μ h , com isso nós obtemos

V 0 - Δ E cot ⁡ 2 μ V 0 - Δ E h =   - Δ E

Isolando a cotangente

cot ⁡ 2 μ V 0 - Δ E h r = - Δ E V 0 - Δ E

Para escrever a expressão em termos da taxa de Δ E e V 0 , e o fator do argumento da cotangente.

cot ⁡ 2 μ V 0 - Δ E h r =   - Δ E V 0 - Δ E

Manipulando os termos, temos que:

cot ⁡ 2 μ V 0 1 - Δ E V 0 h r =   - V 0 V 0 Δ E V 0 1 - Δ E V 0

Manipulando um pouco mais, para facilitar as coisas:

cot ⁡ 2 μ V 0 h r 1 - Δ E V 0 =   - Δ E V 0 1 - Δ E V 0

Simplificando a expressão, de modo a fazer x = Δ E V 0 , com isso obtemos a seguinte configuração

cot ⁡ 2 μ V 0 h r 1 - x =   - x 1 - x

Passo 2

Para simplificar ainda mais, o coeficiente da raiz no argumento da cotangente é necessário. Portanto, primeiro expanda-o com a equação (2) para μ .

2 μ V 0 h r = 2 m 1 m 2 m 1 + m 2 V 0 r h

Juntando tudo na raíz, temos que:

2 μ V 0 h r = 2 m 1 m 2 V 0 m 1 + m 2 r h

Então, uma vez que o deutério é um sistema de um próton e um nêutron, então vamos usar as massas deles.

m 1 = 1,672 × 10 - 27   k g

m 2 = 1,675 × 10 - 27   k g

V 0 = 5,76 × 10 - 12   J

Com isso, nós temos:

2 μ V 0 h r = 2 1,672 × 10 - 27   k g 1,675 × 10 - 27   k g 5,76 × 10 - 12   J 1,672 × 10 - 27   k g + 1,675 × 10 - 27   k g 2,0 × 10 - 15   m 1,055 × 10 - 34   J ∙ s

Logo, fazendo alguns cálculos, temos que o termo é igual a

2 μ V 0 h r = 1,86

Passo 3

Agora que o coeficiente da raíz dentro do argumento da cotangente já é conhecido, vamos substituir na equação de energia de ligação

cot ⁡ 1,86 1 - x = - x 1 - x

Como essa é uma equação transcendental, ela precisa ser resolvida numericamente. Isso dá apenas uma solução para x que é x = 0,05557. Em seguida, use isso na substituição que foi usada para encontrar o Δ E .

x = Δ E V 0 → Δ E = x V 0

Logo, vamos substituir 0,05557 para x, e 36   M e V para V 0 , com isso, nós temos:

Δ E = x V 0

Δ E = 0,05557 36   M e V = 2,0   M e V

Portanto, o modelo fornece uma energia de ligação de 2,0 MeV para o deutério, que é uma boa aproximação dos 2,2 MeV encontrados experimentalmente. O pequeno desvio pode ser explicado como que o potencial real do deutério não é exatamente um poço quadrado, o que introduz perturbações no resultado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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