Mostre, por substituição, que a relação obtida no problema 3 tem uma solução com (que é a energia de ligação do dêuteron observada experimentalmente) quando o potencial tem um raio e uma profundidade .
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!
Bem, no enunciado se fala que a energia do dêuteron é igual é quando o raio do poço de potencial em que ele está é e a profundidade do poço é , logo, a equação que rege a energia de ligação é igual a
Para facilitar um pouco mais as coisas, necessitamos de utilizar a equação para a massa reduzida de um par de massas
Também será de grande valia converter a profundidade de poço para uma unidade de Fermi
Para mostrar que é uma solução válida para equação de energia de ligação, nós temos que cancelar os termos dos dois lados da equação, no caso, o termo , com isso nós obtemos
Isolando a cotangente
Para escrever a expressão em termos da taxa de e , e o fator do argumento da cotangente.
Manipulando os termos, temos que:
Manipulando um pouco mais, para facilitar as coisas:
Simplificando a expressão, de modo a fazer , com isso obtemos a seguinte configuração
Passo 2
Para simplificar ainda mais, o coeficiente da raiz no argumento da cotangente é necessário. Portanto, primeiro expanda-o com a equação (2) para .
Juntando tudo na raíz, temos que:
Então, uma vez que o deutério é um sistema de um próton e um nêutron, então vamos usar as massas deles.
Com isso, nós temos:
Logo, fazendo alguns cálculos, temos que o termo é igual a
Passo 3
Agora que o coeficiente da raíz dentro do argumento da cotangente já é conhecido, vamos substituir na equação de energia de ligação
Como essa é uma equação transcendental, ela precisa ser resolvida numericamente. Isso dá apenas uma solução para x que é x = 0,05557. Em seguida, use isso na substituição que foi usada para encontrar o .
Logo, vamos substituir para x, e para , com isso, nós temos:
Portanto, o modelo fornece uma energia de ligação de 2,0 MeV para o deutério, que é uma boa aproximação dos 2,2 MeV encontrados experimentalmente. O pequeno desvio pode ser explicado como que o potencial real do deutério não é exatamente um poço quadrado, o que introduz perturbações no resultado.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)