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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 44.1 - Ex. 9

9. A observação dos neutrinos emitidos pela supernova S N   1987 a   (Fig. 43-12b) permitiu estabelecer um limite superior de 20   e V para a energia de repouso do neutrino do elétron. Se a energia de repouso do neutrino do elétron tivesse exatamente este valor, qual seria a diferença entre a velocidade da luz e velocidade de um neutrino de 1,5   M e V ?

Passo 1

Bom! A primeira coisa a se fazer é saber que o fator de Lorentz é dado pela seguinte equação:

γ = E m c 2 = 1,5 ⋅ 10 6   e V 20   e V = 75000

Só que esse mesmo fator de Lorentz também pode ser escrito em função da velocidade da partícula v , como:

γ = 1 1 - v c 2

γ 2 = 1 1 - v c 2

γ 2 - v 2 c 2 γ 2 = 1

v 2 γ 2 c 2 = γ 2 - 1

v 2 γ 2 = c 2 γ 2 - c 2

v 2 = c 2 - c 2 γ 2

v = c 1 - 1 γ 2

Passo 2

Agora que já obtemos o valor de v , vamos ver quanto vai valer a diferença c - v , conforme determina a questão:

c - v = c - c 1 - 1 γ 2 = c 1 - 1 - 1 γ 2

Tá meio ruim trabalhar com essa raiz né, não? E se eu disser que tem um jeito de tornar a nossa expressão um pouquinho mais simples. E existe. Trata-se da expansão binomial.

Pela expansão binomial, a seguinte expressão pode ser transformada:

( a + b ) n = a n + n a n - 1 b + n ( n - 1 ) 2 a n - 2 b 2 + … + b n

Baseado nesse raciocínio; nossa expressão adquire a seguinte aparência:

1 - 1 γ 2 = 1 - 1 γ 2 1 / 2 ≅ 1 - 1 2 γ 2

Passo 3

Dessa forma:

c - v = c 1 - 1 - 1 γ 2 ≈ c 1 - 1 + 1 2 γ 2

c - v = c 1 - 1 - 1 γ 2 ≈ c 1 2 γ 2

c - v ≈ c 1 2 γ 2

E substituindo os valores numéricos pertinentes, obtemos que:

c - v ≈ ( 2,998 ⋅ 10 8   m / s ) 1 2 ( 75000 ) 2

c - v ≈ 0,0266   m / s ≅ 2,7   c m / s

Resposta

c - v ≈ 0,0266   m / s ≅ 2,7   c m / s

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