Enunciado

A placa retangular mostrada na Figura P16.60 tem uma área A i , igual a l w . Se a temperatura aumentar em ∆ T , cada dimensão aumenta de acordo com a Equação 16.4, onde a é o coeficiente médio de expansão linear. (a) Mostre que o aumento em área é ∆ A = 2 α A i ∆ T . (b) Que aproximação essa expressão assume?

Passo 1

Falaaa galerinha, tudo bem?

Bora pra mais um?

  1. A variação da área pode ser escrita como a diferença da área final pela inicial. Portanto:
  2. ∆ A = A f - A i

    ∆ A = w + ∆ w ⋅ l + ∆ l - w ⋅ l

    ∆ A = w ⋅ ∆ l + ∆ w ⋅ l + ∆ w ⋅ ∆ l

    Como em termos de dilatação os valores de ∆ l     e   ∆ w são muitos pequenos com relação às medidas l   e   w , podemos desprezar o produto entre eles:

    ∆ A = w ⋅ ∆ l + ∆ w ⋅ l

    Passo 2

    A variação do comprimento linear é dada por:

    ∆ l = α ⋅ l ⋅ ∆ T

    ∆ w = α ⋅ w ⋅ ∆ T

    Substituindo, teremos:

    ∆ A = w ⋅ α ⋅ l ⋅ ∆ T + α ⋅ w ⋅ ∆ T ⋅ l

    ∆ A = 2 ⋅ α ⋅ A ⋅ ∆ T

    Passo 3

  3. Para encontrarmos essa aproximação, consideramos que:

∆ w ⋅ ∆ l ≈ 0

α ⋅ w ⋅ ∆ T ⋅ α ⋅ l ⋅ ∆ T ≈ 0

A α ⋅ ∆ T 2 ≈ 0

Como visto anteriormente, a expressão:

α ⋅ ∆ T ≪ 1

Passo 2

Portanto:

α ⋅ ∆ T 2 ≈ 0

Com isso, concluímos que a consideração inicial de desprezar o termo do produto de ∆ l   e   ∆ w está correta.

Resposta

Vide a explicação.

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