Como pode ser aplicado o princípio da correspondência ao diagrama de fase de um oscilador linear como o da figura 4-16?
Passo 1
Fala galerinha, beleza?
Foi discutido na seção 4-9 o comportamento clássico de um oscilador harmônico no diagrama de fase. Considerando a conservação da energia, temos
Assim, podemos escrever
Ou ainda,
Isso corresponde a uma elipse com semieixos e :
A área dessa elipse é
Fazendo a interpretação e , obtemos
Portanto,
Se considerarmos uma variação infinitesimal de energia , isso deve corresponder a uma variação infinitesimal na área:
Podemos pensar em como sendo a diferença de área de uma elipse de energia e outra de energia . Guarde essas ideias!
Passo 2
Na física quântica, a energia do oscilador é quantizada, de modo que
A seguir desenhamos as elipses para vários valores de :
Vamos calcular a diferença de área entre a elipse de energia e a elipse de energia :
Assim, temos que
A diferença de área entre as elipses é sempre uma constante. Para valores pequenos de (como os mostrados na figura), nós conseguimos distinguir muito bem as elipses pois suas áreas não são muito grandes quando comparadas a diferença entre elas. Mas conforme cresce, as áreas crescem, mas sem que a diferença entre elas aumente. Isso significa que elas vão ficando cada vez mais “grudadas”, se aproximando de um espectro contínuo, que seria a descrição clássica do problema. Isso ilustra perfeitamente o princípio da correspondência: conforme aumenta, a descrição quântica se aproxima da descrição clássica!
Resposta
Demonstração.