Como pode ser aplicado o princípio da correspondência ao diagrama de fase de um oscilador linear como o da figura 4-16?

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Foi discutido na seção 4-9 o comportamento clássico de um oscilador harmônico no diagrama de fase. Considerando a conservação da energia, temos

p 2 2 m + k x 2 2 = E

Assim, podemos escrever

p 2 2 m E + x 2 2 E / k = 1

Ou ainda,

x 2 a 2 + p 2 b 2 = 1 ,     a = 2 E k ,               b = 2 m E

Isso corresponde a uma elipse com semieixos a e b :

A área dessa elipse é

A = π a b = π ⋅ 2 E k ⋅ 2 m E = E ⋅ 2 π m k

Fazendo a interpretação ω = k / m e ω = 2 π ν , obtemos

2 π m k = 1 ν

Portanto,

A = E ν

Se considerarmos uma variação infinitesimal de energia d E , isso deve corresponder a uma variação infinitesimal d A na área:

d A = d E ν

Podemos pensar em d A como sendo a diferença de área de uma elipse de energia E + d E e outra de energia E . Guarde essas ideias!

Passo 2

Na física quântica, a energia do oscilador é quantizada, de modo que

E n = n h ν

A seguir desenhamos as elipses para vários valores de n :

Vamos calcular a diferença de área entre a elipse de energia E n + 1 e a elipse de energia E n :

A n + 1 - A n = E n + 1 - E n ν = n + 1 h ν - n h ν ν = h

Assim, temos que

Δ A = h

A diferença de área entre as elipses é sempre uma constante. Para valores pequenos de n (como os mostrados na figura), nós conseguimos distinguir muito bem as elipses pois suas áreas não são muito grandes quando comparadas a diferença Δ A entre elas. Mas conforme n cresce, as áreas crescem, mas sem que a diferença entre elas aumente. Isso significa que elas vão ficando cada vez mais “grudadas”, se aproximando de um espectro contínuo, que seria a descrição clássica do problema. Isso ilustra perfeitamente o princípio da correspondência: conforme n aumenta, a descrição quântica se aproxima da descrição clássica!

Resposta

Demonstração.

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