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Enunciado

Física - Alonso e Finn - Campos e Ondas- Ed: 2º - Capítulo 14.Problemas - Ex. 22

Quatro prótons são colocados nas vértices de um quadrado de lado 2 X 10-9m. Um outro próton está inicialmente perpendicular ao quadrado através de seu centro à uma distância de 2 x 10-9 m do centro. Calcule (a) a velocidade inicial mínima que ela precisa para chegar ao centro do quadrado, (b) sua aceleração inicial e final. (c) Trace a energia potencial do próton como uma função de sua distância do centro do quadrado. Descreva seu movimento se a energia inicial é menor ou maior do que aquela encontrada em (a).

Passo 1

Fala galera, tudo bom com vocês?

Vem comigo pra fazer essa questãozinha aqui!

Letra a:

Aplicando o princípio da conservação de energia:

1 2 m v 1 2 + q V 1 = 1 2 m v 2 2 + q V 2                       ( 1 )

Onde,

v 1 = v e l o c i d a d e   i n i c i a l   e m   P

v 2 = v e l o c i d a d e   f i n a l   e m   O

V 1 = P o t e n c i a l   e m   P

V 2 = P o t e n c i a l   e m   O

Calculando V 1 :

V 1 = q 4 π ε 0 × 1 A P - + 1 B P - + 1 C P - + 1 D P -

v 1 = 1.6 × 10 - 19 4 π ε 0 × 2 A P - + 1 B P - + 1 C P - ;                     ( A P - = D P - )

A P - = 2 × 10 - 9 2 + 2 × 10 - 9 2 → A P - = 2.4495 × 10 - 9 m

B P - = 2 - 2 × 10 - 9 m → B P - = 0.5858 × 10 - 9 m

C P - = 2 + 2 × 10 - 9 m . → C P - = 3.4142 × 10 - 9 m

V 1 = 1.6 × 9 × 10 - 10 × 1 10 - 9 2 2.4495 + 1 0.5858 + 1 3.4142 V

V 1 = 4.0611 V                                           ( 2 )

Passo 2

E agora calculando V 2 :

V 2 = q 4 π ε 0 × 1 O A - + 1 O B - + 1 O C - + 1 O D -

V 2 = 1.6021 × 10 - 19 × 9 × 10 9 × 4 2 × 10 - 9 V

V 2 = 1.6021 × 9 × 10 - 1 × 2 × 2 V

V 2 = 4.0783 V                     ( 3 )

Substituindo (2) e (3) em (1) e levando em conta que v 2 = 0 e m = 1.6725 × 10 - 27 k g , então:

1 2 1.6725 × 10 - 27 × v 1 2 + 1.6021 × 10 - 19 × 4.0611 = 1.6021 × 10 - 19 × 4.0783

v 1 2 = 1.6021 × 10 - 19 × ( 4.0783 - 4.0611 ) × 2 1.6725 × 10 - 27 m 2 / s 2

v 1 2 = 16476.0060 m 2 / s 2

v 1 = 128.3 589 m / s

Passo 3

Letra b:

v 2 2 = v 1 2 - 2 a d ; v 2 = 0

v 1 2 = 2 a d → a = v 1 2 2 d

a = 16476 . 0060 2 × 2 × 10 - 9

a = 4.1190 × 10 12 m / s 2

Passo 4

Letra c:

E p = q V p                           ( 1 )

V p = g 4 π ε 0 1 A P - + 1 B P - + 1 C P - + 1 D P -

A P - = D P - = 2 x 10 - 9 2 + x 2 m

B P - = x - 2 × 10 - 9 m ;     x ⩾ 2 × 10 - 9

C P - = x + 2 × 10 - 9 m

Substituindo em V p :

v p = q 4 π ε 0 2 2 × 10 - 9 2 + x 2 + 1 x - 2 × 10 - 9 + 1 x + 2 × 10 - 9

V p = q 4 π ε 0 2 2 × 10 - 18 + x 2 + 2 x x 2 - 2 × 10 - 18

v p = q 2 π ε 0 2 × 10 - 18 + x 2 2 × 10 - 18 + x 2 + x x 2 - 2 × 10 - 18

V D = 14.4189 × 10 - 10 × x 3 + 2 × 10 - 18 + x 2 x 2 + 2 × 10 - 18 × - 2 × 10 - 18 2 × 10 - 18 + x 2 x 4 - 4 × 10 - 36

Para encontrar E p , usamos (1):

E p = 2.31 × 10 - 28 × x 3 + 2 × 10 - 18 + x 2 x 2 + 2 × 10 - 18 ⋅ x - 2 × 10 - 18 2 × 10 - 18 + x 2 x 4 - 4 × 10 - 36

0 < x ⩽ 3.4142 × 10 - 9 m

Os valores de x estão entre esses valores acima.

Resposta

  1. v 1 = 128.3589 m / s
  2. a = 4.1190 × 10 12 m / s 2
  3. 0 < x ⩽ 3.4142 × 10 - 9 m
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