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Enunciado

Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Oscilações, Ondas e Termodinâmica- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 60

Em relação à represa estudada no Exemplo 15.2 e na Figura 15.6, (a) mostre que o torque total exercido pela água atrás da represa por um eixo horizontal que passa por O é ρ g ⍵ H ³ 6 . (b) Mostre que a linha efetiva de ação da força total exercida pela água está a uma distância H 3 acima de O.

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Vamos começar trazendo aqui a fórmula da pressão:

P = ρ g ( H - y )

Como queremos uma variação infinitesimal da força, podemos dizer que:

d F = P d A

A mesma ideia para a área podemos definir:

d A = w d y

Juntando tudo na mesma fórmula, vamos ter

d F = ρ g ( H - y ) w d y

Show. Agora, o que precisamos lembrar aqui é o valor do torque, que é representado por:

τ = ∫ 0 H y d F

Jogando a fórmula anterior dentro do torque, vamos ter:

τ = ∫ 0 H y ρ g ( H - y ) w d y

Como ρ g w são valores constantes, podemos jogar para fora da integral. Além disso vamos aplicar a distributiva de y.

τ = ρ g w ∫ 0 H ( H y - y ² ) d y

τ = ρ g w   H y 2 2 - y 3 3 0 H

τ = ρ g w   H 3 2 - H 3 3 =   ρ g ⍵ H ³ 6

Passo 2

Show galera, aqui agora vamos destacar aqui a variação da força que achamos no passo anterior:

d F = ρ g ( H - y ) w d y

Agora que a força total vai ser:

F = ∫ 0 H d F

F = ∫ 0 H ρ g ( H - y ) w d y

Como ρ g w são valores constantes, podemos jogar para fora da integral.

F = ρ g w ∫ 0 H ( H - y ) d y

F = ρ g w H y - y 2 2 0 H

F = ρ g w H ² - H ² 2 0 H = ρ g w H ² 2

Beleza, com isso, a gente consegue determinar a força efetiva do torque:

τ = y e f f F

τ = y e f f ρ g w H ² 2

ρ g ⍵ H ³ 6 = y e f f ρ g w H ² 2

Vamos simplificar tudo que podemos:

H 3 = y e f f

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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