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Enunciado

Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 21

Resolva a equação de onda clássica que governa as vibrações de uma corda esticada para uma corda com os dois extremos fixos. Dessa forma, mostre que as funções que descrevem as formas possíveis que a corda toma são basicamente as mesmas que as autofunções para um poço de potencial quadrado infinito.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

A equação de ondas em uma corda é dada por

∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ∂ t 2

Vamos usar como condição de contorno y x = 0 , t = y x = L , t = 0 , pois a corda está presa nas extremidades x = 0 e x = L .

Para resolver essa equação, usamos o método de separação de variáveis:

y x , t = X x   T t

Portanto,

∂ 2 y ∂ x 2 = T d 2 X d x 2             e           ∂ 2 y ∂ t 2 = X d 2 T d t 2

Substituindo na equação:

T d 2 X d x 2 = X v 2 d 2 T d t 2

Dividindo ambos os lados por X T :

1 X d 2 X d x 2 = 1 v 2 T d 2 T d t 2 = - k 2

Chamei a constante de separação - k 2 para que a solução seja oscilatória e faça sentido com o problema.

Passo 2

Com isso, temos duas equações ordinárias separadas:

d 2 X d x 2 = - k 2 X               e         d 2 T d t 2 = - k 2 v 2 T

As soluções são triviais:

X = A cos ⁡ k x + B sin ⁡ k x             e           T = C cos ⁡ k v t + D sin ⁡ k v t

Aplicando as condições de contorno:

X 0 = 0 → A = 0

X L = 0 → sin ⁡ k L = 0 → k L = n π

Portanto, os valores de k estão restritos a

k = n π L

Desta forma, as soluções são do tipo

y x , t = sin ⁡ n π x L C cos ⁡ n π L v t + D sin ⁡ n π L v t

As frequências angulares de oscilação são

ω = k v = n π L v

Observe que o tipo de solução é idêntico ao que vemos para o poço quadrado infinito:

Ψ = A sin ⁡ n π x a   e i E t ℏ

Lembre-se que

e i E t ℏ = cos ⁡ E t ℏ + i sin ⁡ E t ℏ

Assim fica mais fácil enxergar a relação entre as duas soluções!

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro