Quais são as propriedades de dois vetores a e b tais que

(a) a + b = c ea + b = c;

(b) a + b = a – b;

(c) a + b = cea² + b² = c²?

Passo 1

Fala aí! Bora começar relembrando um conceito aqui: a regra do polígono.

Bom, a regra do polígono nos diz que, para somarmos vetores graficamente, juntamos os vetores pela extremidade do primeiro e origem do segundo e traçamos uma linha da origem do primeiro para a extremidade do último vetor, essa linha será a resultante.

No exemplo acima, a resultante R → é encontrada da seguinte forma:

R → = A → + B →

E como fazemos para encontrar o módulo de R → ? Então, no exemplo anterior, bastaria aplicar o Teorema de Pitágoras, mas isso não é válido quando os vetores A → e B → não formarem um ângulo de 90º, então vamos ter que aplicar a lei dos cossenos, que é expressa assim:

R 2 = A 2 + B 2 + 2 ⋅ A ⋅ B ⋅ cos ⁡ θ

Perceba que a equação é bem semelhante à de Pitágoras, que nada mais é do que um caso particular em que θ vale 90º, cujo cosseno anula o último termo!

Bom, dito tudo isso, vamos ver como isso vai ser relevante agora. Vamos começar aplicando essa lei para o caso em que os vetores são paralelos:

R 2 = A 2 + B 2 + 2 ⋅ A ⋅ B ⋅ cos ⁡ 0 ⏞ 1 = A 2 + B 2 + 2 ⋅ A ⋅ B

Vou reorganizar os termos pra você perceber uma coisa.

R 2 = A 2 + 2 ⋅ A ⋅ B + B 2

“O quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo”! Vamos remontar esse produto notável:

R 2 = A + B 2

Agora, como temos os dois lados elevados ao quadrado, podemos cancelar os expoentes. Aí chegamos em:

R = A + B

Tá aí! Encontramos que a soma vetorial de dois vetores será igual à sua soma escalar quando esses vetores forem paralelos!

Passo 2

Para a próxima, não vamos precisar fazer contas, mas temos que usar um pouquinho de raciocínio. Nos foi perguntado quando que um vetor a → , se somado a ele um vetor b → , será igual a ele mesmo após subtraído o tal vetor b → . Perceba que isso só é possível em dois casos: ou b → é igual a zero, ou ambos os vetores são iguais a zero!

Passo 3

Beleza, agora que passamos por tudo isso, se você entendeu bem o primeiro passo, tenho certeza de que vai sacar essa aqui rapidinho. Lembra quando citei o Teorema de Pitágoras e o comparei com a lei dos cossenos? Então, isso é exatamente o que precisamos aqui!

Se liga, se os vetores forem perpendiculares, tal como na imagem lá no passo 1, a expressão fica assim:

R 2 = A 2 + B 2 + 2 ⋅ A ⋅ B ⋅ cos ⁡ 90 ⏞ 0

Como o cosseno de 90º é zero, todo aquele último termo é anulado. Aí ficamos com:

R 2 = A 2 + B 2

Que é exatamente a condição pedida pelo enunciado

Resposta

(a) a → e b → são paralelos.

(b) b → = 0 .

(c) a → e b → são perpendiculares.