Enunciado

Sinais de alta freqüência geralmente são transmitidos ao longo de cabos coaxiais, tal como o que é mostrado na FIGURA PD30.85. Por exemplo, o cabo ao qual está conectada a sua TV por assinatura é um cabo coaxial. O sinal é conduzido sobre um fio de raio R 1 , enquanto o condutor externo, de raio R 2 , está aterrado (ou seja, com V = 0   V ). Um material isolante preenche o espaço entre os dois condutores, e um isolante plástico recobre totalmente o exterior do cabo.

  1. Obtenha uma expressão para a capacitância por metro do cabo coaxial. Considere que o material isolante entre os cilindros seja o ar.
  2. Determine o valor da capacitância por metro do cabo se R 1 =   0,50   m m e R 2 =   3,0   m m .

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Dado que o campo é perpendicular a superfície e tomando a simetria do sistema podemos aplica a lei de Gauss para o fluxo Elétrico:

∮ E → ∙ d   A →   = Q i n t ε 0      

Sendo o campo constante em todo o fio, logo:

E * A = Q i n t ε 0

E a área gaussiana do cilindro é dada como:

A c i l i n d r o = 2 π r L

E a densidade linear de carga é:

λ = Q L → Q = λ L

Assim ficando:

E = λ 2 π r   ε 0

E assim, a relação entre a diferença de potencial e o campo elétrico é:

E = - ∇   V

Assim:

Δ V = - ∮ E * d r

É pedido pra gente calcular a ddp entre os dois cilindros, assim R 1 ≤ r ≤ R 2 . De modo que

Δ V = - ∮ R 1 R 2 λ 2 π r   ε 0 d r = - λ 2 π   ε 0 ln ⁡ r R 1 R 2 = λ 2 π   ε 0   l n ⁡ ( R 2 R 1 )

Lembrando que:

λ = Q L

Δ V = Q L 2 π   ε 0   l n ⁡ ( R 2 R 1 )

Passo 2

Pede-se a capacitância, que é dada por:

C = Q Δ V

Assim:

C = 2 π L   ε 0 ln ⁡ R 2 R 1

Dito que é a capacitância por metro do cabo coaxial, logo:

C L = 2 π ε 0 ln ⁡ R 2 R 1

Passo 3

Para b)

C L = 2 π ε 0 ln ⁡ R 2 R 1 = 2 2 2 π ε 0 ln ⁡ R 2 R 1 = 4 π ε 0 2 ln ⁡ R 2 R 1 = 1 2 9.0 × 10 9 N m 2 C 2 ln ⁡ 3.0   m m 0.50   = 31   p F

Resposta

Para a)

C L = 2 π ε 0 ln ⁡ R 2 R 1

Para b)

C L = 31   p F

Ver Outros Exercícios desse livro