Enunciado
Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 24
Num sistema unidimensional, o número de estados de energia por unidade de energia é , onde l é o comprimento da amostra e m é a massa do elétron. Há elétrons na amostra e cada estado pode ser ocupado por dois elétrons.
A – Determine a energia de Fermi a 0 K.
B – Determine a energia média por elétron a 0 K.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!
Primeiramente, vamos relembrar o número de elétrons é igual a:
Aqui, neste caso, é o número de estados para a energia entre e , que vai contar a quantidade de elétrons permitidos por estado, o termo é a distribuição de Fermi, que a uma temperatura de 0 K, se reduz ao seguinte termo:
Em uma dimensão, o número de estados é dado por:
Agora é substituir na distribuição de Fermi, com isso nós temos:
O segundo termo será nulo, com isso nós temos:
Que será igual a:
Passo 2
Bom, temos este termo para obter a energia de Fermi em termos de , com isso nós temos:
Elevando os termos ao quadrado, nós temos:
Portanto, a energia de Fermi dos elétrons a uma temperatura em 0 K em um sistema unidimensional é igual a:
E essa é a resposta da letra a, 😊
Passo 3
Para a letra b, nós temos que calcular a energia média por elétron é igual a:
Vamos substituir o número total de partículas , a distribuição de Fermi a uma temperatura de 0 K, com isso, nós temos:
O segundo termo irá se anular, com isso nós temos:
Que tem como resultado...
Portanto, a energia média por elétron em um sistema unidimensional é dado por: