Enunciado
Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 44.4 - Ex. 43
41. Suponha que o raio do Sol aumentasse para 5,90x10^12 m (o raio médio da órbita do planeta Plutão), que a distribuição de massa do novo Sol fosse uniforme, que a massa do Sol permanecesse a mesma e que os planetas girassem no interior do novo astro. Supondo que o raio da órbita da Terra permanecesse o mesmo, (a) calcule a velocidade orbital da Terra na nova configuração e (b) calcule a razão entre a velocidade orbital calculada no item (a) e a velocidade orbital atual, que é 29,8 km/s. (c) Qual seria o novo período de revolução da Terra?
Passo 1
Haja ar-condicionado pra viver num planeta desses!
a)
Bom, a Terra, nesse caso ai, só vai sofrer a influencia gravitacional da massa que esta dentro da orbita dela.
Como a massa do Sol permaneceu a mesma podemos fazer uma regra de três pra descobrir qual a massa no interior da orbita da Terra:
Onde é o raio da orbita da Terra, é o novo raio do Sol, é a massa que esta dentro da orbita e é a massa total do Sol. Fazendo essa regrinha de três:
Simplificando essa expressão:
Substituindo esses valores:
Passo 2
Sabemos que a força gravitacional exercida por essa massa sobre a Terra:
E que a aceleração centripeta da Terra é dada por:
Pela segunda lei de Newton, sabemos que
Nesse caso, a força gravitacional é a única atuando sobre a Terra, então ela vai ser a força centripeta. Com isso podemos escrever que
Vamos isolar a velocidade, que é o que estamos buscando:
Substituindo os valores, que são tabelados:
Passo 3
b)
A razão fica fácil calcular:
c)
E para achar o novo período de revolução, só precisamos aplicar os valores na fórmula do período
Transformando para anos:
Resposta
a)
b)
c)