A tabela abaixo apresenta três valores determinados experimentalmente de um espectro de momento R (pe) correspondente à emissão de elétrons durante o decaimento \beta de um núcleo de Z pouco elevado.

(a) Faça um diagrama Kurie desses valores, (b) Extrapole então a curva para encontrar a extremidade superior K_e^{max} do espectro, determinando então a energia de decaimento E

Passo 1

Saalve, tranquilo?

Vamos lá resolver mais uma questão de física quântica?!

Passo 2

a) a energia relativística total E de um elétron com massa m e momento p e é dada por:

E = p e 2 c 2 + m 2 c 4

Aqui, c é a velocidade da luz. A energia total do elétron é também igual a soma da energia cinética K e e sua massa de energia m c 2 :

E = K e + m c 2

Agora, a gente iguala as duas equações:

K e + m c 2 = p e 2 c 2 + m 2 c 4

Simplificando e colocando na forma de uma equação quadrática, temos que:

K e 2 + 2 K e m c 2 - p e c 2 = 0

A gente conhece a solução pra essa equação desde o ensino médio né?

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo o que temos:

K e = - 2 m c 2 ± 2 m c 2 2 - 4 1 - p e c 2 2 1 = - m c 2 ± m c 2 2 + p e 2 c 2

Descartando a solução negativa, já que uma energia cinética negativa é um resultado não físico:

K e = m c 2 2 + p e 2 c 2 - m c 2

Passo 3

Calculando o momento do elétron p e da quantidade dada p e / m c multiplicando pela massa de elétron m e a velocidade da luz c :

p e = m c p e m c

Substituindo para p e em K e :

K e = m c 2 2 + m c p e m c 2 c 2 - m c 2 = m c 2 1 + p e m c 2 - 1

Similarmente, substituindo para p e na quantidade do espectro do momento:

R p e p e 2 1 / 2 = R p e m c p e / m c 2 1 / 2 = R p e m c p e / m c

Passo 4

Substituindo os dados para calcular para o primeiro ponto da tabela:

K e 1 = 0,511   M e V 1 + 2,8 2 - 1 = 1,0   M e V

R p e p e 2 1 1 / 2 = 375 9,109 ⋅ 10 - 31   k g 2,998 ⋅ 10 8   m / s 2,8 = 2,5 ⋅ 10 22

Substituindo os dados para calcular para o segundo ponto da tabela:

K e 2 = 0,511   M e V 1 + 4,9 2 - 1 = 2 , 0   M e V

R p e p e 2 2 1 / 2 = 500 9,109 ⋅ 10 - 31   k g 2,998 ⋅ 10 8   m / s 4,9 = 1,7 ⋅ 10 22

Substituindo os dados para calcular para o terceiro ponto da tabela:

K e 3 = 0,511   M e V 1 + 6,9 2 - 1 = 3,1   M e V

R p e p e 2 3 1 / 2 = 250 9,109 ⋅ 10 - 31   k g 2,998 ⋅ 10 8   m / s 2,8 = 8,4 ⋅ 10 2 1

Plotando esses três valores de R p e p e 2 n 1 / 2 para os valores associados de K e para construir o gráfico de Kurie de decaimento de β :

Os pontos dos dados seguem uma relação linear, como esperado, e a equação para a aproximação linear é mostrado no gráfico.

Passo 5

b) achando o ponto final K e m a x da energia do espectro do elétron usando a equação obtida para a aproximação linear do gráfico de Kurie no Passo anterior:

y = - 8 ⋅ 10 21 x + 3 ⋅ 10 22

O ponto final do espectro de energia do elétron corresponde à situação em que toda a energia liberada no decaimento β é transmitida ao elétron e a energia antineutrino é zero, então o ponto final do espectro de energia do elétron é a própria energia de decaimento.

Vamos examinar o gráfico para ver se o valor máximo possível de x será associado a um valor y de zero, então substitua 0 por y :

0 = - 8 ⋅ 10 21 x + 3 ⋅ 10 22 → x = 3,75

Então, a energia máxima de elétron K e m a x , a energia do decaimento β é:

∴ 3,75   M e V

Resposta

b) 3,75   M e V

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