Todas as funções e i m l φ ,   e - i m l φ , cos ⁡ m l φ   e   s e n   m l φ são soluções particulares da equação para Φ ( φ ) . (7-15) (veja o problema 12). (a) Determine quais são também autofunções do operador componente z do momento angular L z o p . (b) Interprete seus resultados.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!

Vamos lá, primeiramente, as autofunções do operador componente z do momento angular para as funções dadas podem ser determinadas se baseando nas funções de onda. Entendido isso, vamos iniciar sabendo que operador é esse, bem, o operador da componente z do momento angular (nome longo, não acha?) é dado por:

L z o p = - i h ∂ ψ ∂ φ

Se as funções de onda são do tipo ψ = e i m l φ , então a autofunção desse operador é dada por:

L z o p =   - i h ∂ ∂ φ e i m l φ = m l h e i m l φ

Lembre-se das propriedades de números complexos. Se a função for do tipo e - i m l φ , então temos:

L z o p = - i h ∂ ∂ φ e - i m l φ = - m l h e i m l φ

Portanto, e ± i m l φ é a autofunção do operador do momento angular, e o autovalor associado é dado por:

± m l h

Passo 2

Se a função de onda é dada por uma função trigonométrica (do tipo cos ⁡ m l φ ), o operador do momentum é igual a:

- i h ∂ ∂ φ cos ⁡ m l φ =   - i h m l - s e n   m l φ

Com isso, nós temos:

i h m l   s e n   m l φ

Se a função de onda é s e n   m l φ , temos o seguinte operador:

- i h   s e n   m l φ =   - i h m l cos ⁡ m l φ

Portanto:

- i h m l cos ⁡ m l φ

Logo, as funções de onda ditas trigonométricas, ou seja, ( cos ⁡ m l φ   e   s e n   m l φ ) não definem o momentum angular, porque, não geram a mesma função quando derivadas, com isso, essas duas funções não são autofunções do componente z do momentum angular.

Pronto, a letra a já está totalmente resolvida, agora vamos para a letra b.

Passo 3

Para a letra b, necessitamos interpretar os resultados da letra a, bem, das funções do tipo exponencial complexa ( e ± i m l φ ) , elas são autofunções do operador da componente z. No caso das funções do tipo trigonométrica ( cos ⁡ m l φ   e   s e n   m l φ ) não são autofunções e com isso não conseguimos ter valores precisos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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