Usando as técnicas do apêndice I, mostre que tem a forma descrita na equação (7-37)
Passo 1
Partindo do ponto inicial do apêndice I, onde ele faz uma relação para o momento angular . Onde
,
mas nossa expressão está nas coordenadas cartesianas, já o livro quer que encontremos em coordenadas polares. Aquelas coordenadas que envolvem os termos
Passo 2
Bem, vamos partir da relação do vetor em termos de x, y e z.
onde a relação para x, y e z são dadas pela forma
Iremos fazer algumas relações que serão importantes para nosso problema. De modo geral, utilizando derivadas parciais para as coordenadas polares, teremos as seguintes expressões:
Onde é uma função qualquer.
Passo 3
Precisamos encontrar algumas dessas relações para que possamos seguir adiante.
Pela regra da cadeia essa equação fica na forma
o mesmo acontece para e onde encontramos respectivamente
algumas outras relações importantes:
e
Agora que já temos todos os termos que precisamos, mãos à obra!
Obs: essas relações que escrevi acima, podem ser encontradas em qualquer livro de cálculo. Iremos substituir os elementos das equações gerais das derivadas parciais que escrevi no passo 3 em conjunto com os elementos que estão no passo 3, deste modo, nossa expressão para será dada como
Nosso próximo termo pode ficar um pouco grande pois agora iremos aplicar a propriedade distributiva
os termos que se cancelam são os termos com a varial , nossa equação fica
temos uma pequena pequena relação nos termos quadráticos colocando o termo em evidência ficamos com a expressão
onde
Resposta
Assim nossa expressão para fica
.
Como queríamos demonstrar.