Use a função de onda para a partícula em uma caixa, verificada no exemplo 5-9, com o valor de A determinado no exemplo 5-10, para calcular a probabilidade de que, em uma medida, a partícula seja encontrada dentro de uma região medindo a / 3 , considerada a partir do extremo direito da caixa (cujo comprimento é a ). A partícula está em seu estado de menor energia. Compare com a probabilidade que seria prevista classicamente, a partir de um cálculo bem simples semelhante ao feito no exemplo 5-6.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

A função de onda dada no exemplo 5-9, válida apenas no intervalo - a / 2 < x < a / 2 , é

ψ x , t = A cos ⁡ π x a   e - i E t ℏ

A constante de normalização A foi calculada no exemplo 5-10:

A 2 = 2 a

Para fazer discussões de probabilidade, temos que lembrar que a densidade de probabilidades é o módulo ao quadrado da função de onda:

ψ 2 = A 2 cos 2 ⁡ π x a ⋅ e - i E t ℏ   e i E t ℏ

Assim,

ψ 2 = A 2 cos 2 ⁡ π x a

A probabilidade de a partícula estar entre as posições x 1 e x 2 é

P = ∫ x 1 x 2 ψ 2   d x

Passo 2

No caso, temos que x 2 = a / 2 é a extremidade direita da caixa e

x 2 - x 1 = a 3 → x 1 = a 2 - a 3 = a 6

Assim, a probabilidade pedida é

P = ∫ a / 6 a / 2 A 2 cos 2 ⁡ π x a   d x = ∫ a / 6 a / 2 2 a cos 2 ⁡ π x a   d x

Vamos fazer uma mudança de variável:

y = π x a → d x = a π   d y

Assim,

P = 2 a ⋅ a π ∫ π 6 π 2 cos 2 ⁡ y   d y = 2 π ∫ π 6 π 2 cos 2 ⁡ y   d y

Para fazer a integral, lembramos que

cos 2 ⁡ y = 1 + cos ⁡ 2 y 2

Portanto,

P = 1 π ∫ π / 6 π / 2 1 + cos ⁡ 2 y   d y = 1 π y + 1 2 s e n   2 y π / 6 π / 2

Logo,

P = 1 π π 2 - π 6 + 1 2 s e n   π - 1 2   s e n π 3 = 1 π π 3 - 3 4

Fazendo as contas em uma calculadora:

P ≈ 0,195

Passo 3

No item (b), temos que fazer uma estimativa semelhante ao que foi feito no exemplo 5-6 para o oscilador harmônico. Para isso, temos que estimar a velocidade fazendo

E = m v 2 2 + V

Como V = 0 para a partícula na caixa, temos

E = m v 2 2

Por outro lado, no exemplo 5-9 foi dado que

E = π 2 ℏ 2 2 m a 2

Assim,

π 2 ℏ 2 2 m a 2 = m v 2 2 → v = π ℏ m

Seguindo o roteiro do exemplo 5-6, a densidade de probabilidade ρ x deve ser inversamente proporcional a velocidade:

ρ = B 2 v = B 2 m π ℏ

Para achar a normalização B 2 , devemos ter

∫ - a / 2 a / 2 ρ   d x = ∫ - a / 2 a / 2 B 2 m π ℏ   d x = B 2 m π ℏ a = 1 → B 2 = π ℏ m a

Assim,

ρ = 1 a

A distribuição de probabilidades é uniforme já que a velocidade da partícula é constante! Assim, a probabilidade de a partícula estar entre x 1 = a / 6 e x 2 = a / 2 é

P = ∫ x 1 x 2 ρ   d x = 1 a x 2 - x 1 = 1 2 - 1 6 = 1 3

Essa estimativa não bate tão bem com o valor exato, mas também não erra por muito.

Resposta

P a ≈ 0,195

P b = 1 3

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