Use a função de onda para a partícula em uma caixa, verificada no exemplo 5-9, com o valor de determinado no exemplo 5-10, para calcular a probabilidade de que, em uma medida, a partícula seja encontrada dentro de uma região medindo , considerada a partir do extremo direito da caixa (cujo comprimento é ). A partícula está em seu estado de menor energia. Compare com a probabilidade que seria prevista classicamente, a partir de um cálculo bem simples semelhante ao feito no exemplo 5-6.
Passo 1
Fala galerinha, beleza?
A função de onda dada no exemplo 5-9, válida apenas no intervalo , é
A constante de normalização foi calculada no exemplo 5-10:
Para fazer discussões de probabilidade, temos que lembrar que a densidade de probabilidades é o módulo ao quadrado da função de onda:
Assim,
A probabilidade de a partícula estar entre as posições e é
Passo 2
No caso, temos que é a extremidade direita da caixa e
Assim, a probabilidade pedida é
Vamos fazer uma mudança de variável:
Assim,
Para fazer a integral, lembramos que
Portanto,
Logo,
Fazendo as contas em uma calculadora:
Passo 3
No item (b), temos que fazer uma estimativa semelhante ao que foi feito no exemplo 5-6 para o oscilador harmônico. Para isso, temos que estimar a velocidade fazendo
Como para a partícula na caixa, temos
Por outro lado, no exemplo 5-9 foi dado que
Assim,
Seguindo o roteiro do exemplo 5-6, a densidade de probabilidade deve ser inversamente proporcional a velocidade:
Para achar a normalização , devemos ter
Assim,
A distribuição de probabilidades é uniforme já que a velocidade da partícula é constante! Assim, a probabilidade de a partícula estar entre e é
Essa estimativa não bate tão bem com o valor exato, mas também não erra por muito.